第４２卷第１期

２０１５年１月

四川师范大学学报（社会科学版）

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｉｃｈｕａｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＳｏｃｉａｌＳｃｉｅｎｃｅｓＥｄｉｔｉｏｎ）

Ｖｏｌ．４２，Ｎｏ．１

Ｊａｎｕａｒｙ，２０１５

广义量词的现代对当方阵研究

林ꢀ 胜ꢀ 强

（

四川师范大学政治教育学院，成都６１００６６）

ꢀ

ꢀ 摘要：在现代对当方阵中，逻辑规律具有一致性。对一个现代对当方阵中的任意一个广义量词施加任意多次

的三种形式的否定运算，得到的广义量词仍然是原来的现代对当方阵中的广义量词。在〈１，１〉类型的广义量词所

对应的现代对当方阵中，不但广义量词与其三个否定量词的单调性之间具有可转换关系；而且它们所对应的广义

三段论之间具有可化归关系。由于〈１，１〉类型广义量词在自然语言中普遍存在，所以，此研究对计算机科学中的知

识表示和知识推理具有重要的意义。

关键词：广义量词；对当方阵；单调性；广义三段论

中图分类号：Ｂ８１９ꢀ 文献标志码：Ａꢀ 文章编号：１０００⁃５３１５（２０１５）０１⁃００１５⁃０６

［

９］

ꢀ

ꢀ ２０世纪中期，人们发现：（１）自然语言中存在很

间的关系来解释广义量词的普遍语义特征。广

义量词理论处理问题的方式直观简洁，其成果普适

性很强，便于对自然语言的信息处理，其研究成果对

于逻辑学、理论语言学、计算语言学、计算机科学等

交叉领域都有着重要的意义。在本文中：用Ａ、Ｂ、Ｃ

表示广义量词所涉及的论元所组成的集合，用Ｅ、Ｆ

表示所讨论的论域；广义量词用其对应的英语来表

示；若无特别说明，量词都是指广义量词。

多不能够用一阶逻辑中的标准量词∀和∃来加以定

义的，但却具有非常有趣的数学推理性质的量

［

１］

；（２）自然语言中还存在亚里斯多德三段论以

词

［

２］

外的大量有效推理，这些推理就是基于广义量词

的扩展三段论的推理。这孕育了广义量词理论

（

ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｑｕａｎｔｉｆｉｅｒｔｈｅｏｒｙ）的诞生。广义量词包

括：（１）一阶逻辑的全称量词和存在量词；（２）限定

词；（３）由限定词ａ，ａｎ，ｔｈｅ或其他量化关系所组成

的所有名词短语。在这里，限定词是指能够修饰名

词的语词，比如：这个、那个、红色的、至少三分之二

的，四个，等等。２０世纪８０年代以来，在Ｂａｒｗｉｓｅ和

需要特别说明的是，广义量词理论和本文中研

究的“量词”都是指“广义量词”，它们与汉语语言学

中的“量词”是完全不同的两个概念。按张晓君的

观点：大致说来，汉语语言学家认为的“表示事物或

动作单位”的“量词”与数词、指代词组成的量词短

语，就相当于英语语言中指称名词短语中的量化词

项的“限定词”；对汉语语言中的量词短语或名词短

语进行语义解释后就得到了集合论中的广义量词，

汉语中的“专有名词”，如张三、李四也是广义量词。

自然语言中的限定性词语和已经名词化的词语也是

广义量词，自然语言中的一些副词性词语，比如：

［

３］

［４］

［５］

Ｃｏｏｐｅｒ、Ｋｅｅｎａｎ、ＶａｎＥｉｊｃｋ、Ｐｅｔｅｒｓ

和

［

６］

［７］

［８］

Ｗｅｓｔｅｒｓｔåｈｌ、Ｓｚｙｍａｎｉｋ、ＣｈｏｗＫａＦａｔ等人工作

的基础上，广义量词理论得到了大力发展。广义量

词理论的表达力就于一阶逻辑的表达力。

广义量词理论以集合论为基础，通过模型论对

广义量词进行形式化的解释，其基本思想就是：根据

广义量词的论元所涉及的集合的性质，或者集合之

收稿日期：２０１４⁃０８⁃１２

基金项目：国家社科基金重大项目“应用逻辑与逻辑应用研究”（１４ＺＤＢ０１４）。

作者简介：林胜强（１９６３—），男，四川隆昌人，四川师范大学政治教育学院副教授，主要从事语言逻辑和哲学逻辑的研究。

１５

四川师范大学学报（社会科学版）

［

１０］

［１１］４７－５２

定义１：令Ｑ是一个〈１，１〉类型量词，对

“

常常、经常、很少、有时、从不”也是广义量词

一ꢀ 问题的提出

。

任意集合Ａ、Ｂ、Ｃ和论域Ｅ、Ｆ而言：

在自然语言中，最为普遍存在的是〈１〉类型量

ꢀ ꢀ （１）Ｑ是右单调递增的（记作Ｍｏｎ↑），当

且仅当：若Ｂ⊆Ｃ⊆Ｅ，则Ｑ_Ｅ（Ａ，Ｂ） ⇒Ｑ_Ｅ（Ａ，

Ｃ）；

词和〈１，１〉类型量词。〈１〉类型量词表示其论元所

组成集合的性质，常见名词短语对应〈１〉类型量词。

〈

１，１〉类型量词表示广义量词左论元和右论元所涉

及的集合之间的二元关系，绝大多数限定词对应

１，１〉类型量词。对〈１〉类型量词的研究常常可以

（２）Ｑ是右单调递减的（记作Ｍｏｎ↓），当

且仅当：若Ｂ⊆Ｃ⊆Ｅ，则Ｑ_Ｅ（Ａ，Ｃ） ⇒Ｑ_Ｅ（Ａ，

Ｂ）；

〈

转化为对其〈１，１〉类型的亲缘量词的研究，因而本

文重点研究〈１，１〉类型量词。比如“最多五分之一

的少年有网瘾”这一语句中的名词短语“最多五分

之一的少年”就是〈１〉类型量词，该量词表示“最多

五分之一的少年” 组成的集合具有“有网瘾” 的性

质。而这一语句中的限定词“最多五分之一的”就

是〈１，１〉类型量词，“最多五分之一的”就是“最多

五分之一的少年”的亲缘量词。在自然语言中，任

何含有〈１，１〉类型量词Ｑ的量化语句都可以表示

为Ｑ（Ａ，Ｂ）这样的三分结构，其中Ａ表示量词左论

元所组成的集合，Ｂ表示量词的右论元所组成的集

合。比如“最多五分之一的少年有网瘾”可用Ｑ（Ａ，

Ｂ）表示，其中“最多五分之一的”对应的是〈１，１〉类

型量词Ｑ，Ａ表示论域中所有的少年组成的集合，Ｂ

表示有网瘾的少年组成的集合。在广义量词理论

中，“最多五分之一的”的真值定义是：（ａｔｍｏｓｔ１／５

ｏｆｔｈｅ）_Ｅ（Ａ，Ｂ）⇔｜Ａ∩Ｂ｜ ≤１／５｜Ａ｜，这里的Ｅ表示

论域，即“最多五分之一的”的语义就是通过“Ａ与

Ｂ交集的基数小于或等于Ａ的基数的五分之一”来

刻画的。类似地，语句“所有的人都渴望得到幸福”

可以表示为ａｌｌ（Ａ，Ｂ），量词“所有的”的真值定义

是ａｌｌ（Ａ，Ｂ）⇔Ａ⊆Ｂ。

（３）Ｑ是左单调递增的（记作↑Ｍｏｎ），当且

仅当：若Ｂ⊆Ｃ⊆Ｅ，则Ｑ_Ｅ（Ｂ，Ａ）⇒Ｑ_Ｅ（Ｃ，Ａ）；

（４）Ｑ是左单调递减的（记作↓Ｍｏｎ），当且

仅当：若Ｂ⊆Ｃ⊆Ｅ，则Ｑ_Ｅ（Ｃ，Ａ）⇒Ｑ_Ｅ（Ｂ，Ａ）。

（５）Ｑ_Ｅ是东南方向单调递增的（记作↑

Ｓ_ＥＭｏｎ），当且仅当：若Ｑ_Ｅ（Ｂ，Ａ）且Ｂ⊆Ｃ⊆Ｅ

且Ｂ－Ａ＝Ｃ－Ａ，则Ｑ_Ｅ（Ｃ，Ａ）；

（６）Ｑ_Ｅ是西南方向单调递增的（记作↑_Ｓ_Ｗ

Ｍｏｎ），当且仅当：若Ｑ_Ｅ（Ｂ，Ａ）且Ｂ⊆Ｃ⊆Ｅ且Ｂ

∩Ａ＝Ｃ∩Ａ，则Ｑ_Ｅ（Ｃ，Ａ）；

（７）Ｑ_Ｅ是西北方向单调递减的（记作↓_Ｎ_Ｗ

Ｍｏｎ），当且仅当：若Ｑ_Ｅ（Ｃ，Ａ）且Ｂ⊆Ｃ⊆Ｅ且Ｂ

－Ａ＝Ｃ－Ａ，则Ｑ_Ｅ（Ｂ，Ａ）；

（８）Ｑ_Ｅ是东北方向单调递减的（记作↓_Ｎ_Ｅ

Ｍｏｎ），当且仅当：若Ｑ_Ｅ（Ｃ，Ａ）且Ｂ⊆Ｃ⊆Ｅ且Ｂ

∩Ａ＝Ｃ∩Ａ，则Ｑ_Ｅ（Ｂ，Ａ）。

二ꢀ 古典对当方阵与现代对当方阵之异同

早在２３００多年前，亚里斯多德就对ａｌｌ、ｓｏｍｅ、

ｎｏ、ｎｏｔａｌｌ这四个亚氏量词有所研究。亚氏三段论

可以看作是这四个〈１，１〉类型量词的推理性质的形

式化解释。一个三段论具有这样的形式：

ꢀ ꢀ 大前提：Ｑ_１（Ｂ，Ｃ）

如果一个量词在某个论域上的任意关系是全关

系（ｕｎｉｖｅｒｓａｌｒｅｌａｔｉｏｎ），这种量词叫作全量词，我们用

粗体１来表示。如果一个量词在某个论域上的任意

关系是空关系（ｅｍｐｔｙｒｅｌａｔｉｏｎ）时，这种量词叫做空

量词，我们用粗体０来表示。这两种量词是非足道

小前提：Ｑ_２（Ａ，Ｂ）

结ꢀ 论：Ｑ_３（Ａ，Ｃ）

在亚里斯多德工作的基础上，大家认为：一个有

效的三段论可以有假前提，如若前提真而结论假，那

么该三段论就是无效的，否则，就是有效的三段论。

后来，一些学者使用对角线的形式把这些亚氏量词

表示在古典对当方阵中（见下页图１）。

１９世纪末以来，一些学者发现古典对当方阵所

（

ｔｒｉｖｉａｌ）量词，其他量词则是足道（ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ）量词。

广义量词的主要性质有：同构闭包性、扩展性、驻留

性、单调性、对称性、相交性等等。单调性则是广义

量词最重要的语义性质。由于〈１，１〉类型量词有两

个论元，故其单调性有左右之分。下面定义１中前

四种单调性是广义量词的基本单调性，后四种单调

性叫做斜向单调性。

［

１２］

描述的逻辑规律有冲突的地方。例如，ｎｏ（Ａ，

Ｂ）不能蕴涵现代对当方阵（见下页图２）中的ｎｏｔａｌｌ

（Ａ，Ｂ），这是因为在现代对当方阵中，ａｌｌ没有假定

主项一定存在，而ｎｏｔａｌｌ则假定了主项一定存在。

１６

林胜强ꢀ 广义量词的现代对当方阵研究

ｄ

但是ｎｏ（Ａ，Ｂ）确实蕴涵古典意义的ｎｏｔａｌｌ_ｅ_ｉ（Ａ，

否定量词、Ｑ表示其对偶否定量词，则其三种否定

［

６］９２－９３

Ｂ），这是因为在古典对当方阵中，ａｌｌ_ｅ_ｉ假定了主项一

定存在，而ｎｏｔａｌｌ_ｅ_ｉ没有假定主项一定存在。这一假

量词的定义

是：

定义２：〈１，１〉类型量词的三种否定运算：

［

６］２２－２６

定与现代对当方阵正好相反

。此外，古典对

ꢀ ꢀ （１）（¬Ｑ）

Ｅ

（Ａ，Ｂ）⇔并非Ｑ（Ａ，Ｂ）；

Ｅ

（Ａ，Ｂ）⇔Ｑ（Ａ，Ｅ^－^Ｂ^）^；

当方阵对指称空集的表达式的空词项的处理不够充

（２）（Ｑ¬）

ｄ

（３）（Ｑ）_Ｅ（Ａ，Ｂ） ⇔¬（（Ｑ¬）_Ｅ（Ａ，Ｂ））⇔

Ｅ

［

１３］２２０－２２４

分

。然而，古典对当方阵对于像ａｌｌ、ｅｖｅｒｙ这

些词的解释，还是很大程度上达到了逻辑学和语言

学的目的。从１９世纪末以来，现代对当方阵规定量

词ａｌｌ不假定主项一定存在，而ｎｏｔａｌｌ则假定主项一

定存在。基于以上这些原因，为了与现代对当方阵

中的ａｌｌ与ｎｏｔａｌｌ区分开来，我们在古典对当方阵中

的ａｌｌ与ｎｏｔａｌｌ都加上了下标ｅｉ。与古典对当方阵

相比较，现代对当方阵的主要优点是：一是没有逻辑

规律上的冲突，二是能够揭示出自然语言和逻辑语

言中的三种重要的否定形式（即外否定、内否定、对

（（¬Ｑ）_Ｅ¬）（Ａ，Ｂ）。

Ｑ的对偶否定就是Ｑ的内否定的外否定，或Ｑ

的对偶否定就是Ｑ的外否定的内否定。

三ꢀ 广义量词的现代对当方阵研究

在之前论述的基础上，现在我们就可以给出广

［

６］１３３

义量词的现代对当方阵的定义

。

定义３：现代对当方阵：

ꢀ ꢀ 对一个对〈１，１〉类型或〈１〉类型的广义量

词Ｑ而言，Ｑ的对当方阵简记为ｓｑｕａｒｅ（Ｑ），而

［

１４］

ｄ

偶否定）之间的相互关系

。

且ｓｑｕａｒｅ（Ｑ）＝｛Ｑ， ¬Ｑ，Ｑ¬，Ｑ｝

例如，图２中的现代对当方阵可以记作ｓｑｕａｒｅ

ａｌｌ）＝｛ａｌｌ，ｎｏｔａｌｌ，ｎｏ，ｓｏｍｅ｝。每一个广义量词

（

都可以生成一个现代对当方阵。例如：ｓｑｕａｒｅ（ａｔ

ｍｏｓｔｎ）＝｛ａｔｍｏｓｔｎ，ｍｏｒｅｔｈａｎｎ，ａｌｌｂｕｔａｔｍｏｓｔｎ，

ｌｅｓｓｔｈａｎｎ｝，其中的ｎ为自然数。因为：ａｔｍｏｓｔｎ是

〈

１，１〉类型量词，令Ｑ＝ａｔｍｏｓｔｎ，根据定义２（１），

得：（¬Ｑ）_Ｅ（Ａ，Ｂ）⇔并非Ｑ_Ｅ（Ａ，Ｂ）⇔并非（ａｔｍｏｓｔ

ｎ）（Ａ，Ｂ） ⇔ｍｏｒｅｔｈａｎｎ（Ａ，Ｂ），所以，¬Ｑ＝ｍｏｒｅ

ｔｈａｎｎ。根据定义２（２），得：（Ｑ¬）_Ｅ（Ａ，Ｂ）⇔Ｑ_Ｅ（Ａ，

Ｅ－Ｂ）⇔（ａｔｍｏｓｔｎ）（Ａ，Ｅ－Ｂ）⇔（ａｌｌｂｕｔａｔｍｏｓｔｎ）

图１．古典对当方阵

（

Ａ，Ｂ），所以Ｑ¬ ＝ａｌｌｂｕｔａｔｍｏｓｔｎ。根据定义２

ｄ

３），得：（Ｑ）_Ｅ（Ａ，Ｂ）⇔¬（（Ｑ¬）_Ｅ（Ａ，Ｂ））⇔¬（ａｌｌ

ｄ

ｂｕｔａｔｍｏｓｔｎ）（Ａ，Ｂ）⇔ｌｅｓｓｔｈａｎｎ（Ａ，Ｂ），所以Ｑ

＝

ｌｅｓｓｔｈａｎｎ。

在现代对当方阵中，对一个广义量词进行这三

种形式的否定运算，其结果是封闭的。也就是说，对

一个现代对当方阵中的任意一个广义量词施加任意

多次的这三种形式的否定运算，得到的广义量词仍

［

６］２４－２６

然是原来的现代对当方阵中的广义量词

。例

ｄ

如：在现代对当方阵ｓｑｕａｒｅ（ａｌｌ）中，¬¬¬（ｓｏｍｅ）

ｄ

图２．现代对当方阵

¬¬ ＝¬（ｓｏｍｅ）¬¬ ＝¬（ｓｏｍｅ）＝ ¬ａｌｌ＝ｎｏｔａｌｌ。

在现代对当方阵中，对角线两端的量词互为外

否定（ｏｕｔｅｒｎｅｇａｔｉｏｎ）量词，水平线两端的量词互为

内否定（ｉｎｎｅｒｎｅｇａｔｉｏｎ）量词，铅垂直线两端的量词

则互为对偶（ｄｕａｌ）否定量词。对〈１，１〉类型广义量

词Ｑ而言，令¬Ｑ表示其外否定量词、Ｑ¬ 表示其内

后来的学者研究表明，这三种形式的否定在自

然语言中都是大量存在的，而且任意一个广义量词

都可以产生一个现代对当方阵。这一点对古典对当

方阵而言是不成立的，因为只有现代对当方阵中的

量词的外否定在古典对当方阵中，而量词的其他两

１７

四川师范大学学报（社会科学版）

种形式的否定形式都不在古典对当方阵中。如果没

（４）由于任意广义量词与它的外否定量词是不

同的，因而在对当方阵中最少存在两个量词。现在

只需要考虑（ａ）与（ｂ）两种情况：（ａ）当¬Ｑ≠Ｑ¬时，

有特殊说明，以下的对当方阵都是指现代对当方阵。

对现代对当方阵而言，有如下事实成立：

［

６］１３３－１３４

ｄ

事实１

ꢀ （１）空量词０与全量词１所对应的对当方

阵相同，即ｓｑｕａｒｅ（０）＝ｓｑｕａｒｅ（１）＝｛０，１｝；

２）如果Ｑ既不是空量词，也不是全量词，

：

Ｑ＝¬Ｑ¬，即Ｑ是Ｑ¬ 的外否定，那么Ｑ ≠Ｑ¬，即

ｄ

ꢀ

此时Ｑ≠¬Ｑ≠Ｑ¬ ≠Ｑ，这时对当方阵中就有四个

ｄ

成员。（ｂ）当¬Ｑ＝Ｑ¬ 时，Ｑ＝ ¬Ｑ¬ ＝Ｑ¬¬ ＝Ｑ，这时

（

对当方阵就只有两个成员。根据（１）的证明可知，

这种情况是存在的。因此，对当方阵中要么有两个

成员，要么有四个成员。结论得证。

那么在Ｑ的对当方阵中的其他三个否定量词

也既不是空量词，也不是全量词；

（

３）一个对当方阵中的每一个量词生成的

对当方阵都是一样的。即：如果Ｑ′∈ ｓｑｕａｒｅ

Ｑ），那么ｓｑｕａｒｅ（Ｑ）＝ｓｑｕａｒｅ（Ｑ′）。

４）任何一个对当方阵ｓｑｕａｒｅ（Ｑ），要么有

四ꢀ 同一个对当方阵中的广义量词之间的关系

在文献［６］［８］和［１３－１５］的基础上，张晓君发

现：在同一个对当方阵中，不同广义量词的单调性之

间有着密切的关系。例如：对〈１，１〉类型的广义量

词而言，在同一个对当方阵中，不同广义量词的单调

性之间具有可转换关系，即：互为外否定的两个量词

的左右单调性完全相反；互为内否定的两个量词的

左单调性相同，右单调性相反；互为对偶否定的两个

量词的左单调性相反，右单调性相同。这一可转换

关系可概括成“外否左右反，内否左同右反，对偶左

（

两个成员，要么有四个成员。

文献［６］仅仅给出了事实１的（２）（３）（４）的简

略证明。在此，我们可以给出以下完整的证明。

（

１）当Ｑ是空量词时，即有Ｑ＝０，那么¬Ｑ＝¬０

ｄ

＝

１，Ｑ¬ ＝０¬ ＝１－０＝１，这时¬Ｑ＝Ｑ¬ ＝１；而Ｑ＝¬（Ｑ

ｄ

¬

）＝ ¬１＝０，这时Ｑ＝Ｑ＝０，所以ｓｑｕａｒｅ（０）＝｛０，

［

１５］６７３－６７８

１

｝。类似地，当Ｑ是全量词时，即有Ｑ＝１，则¬Ｑ＝

反右同”

。例如，四个〈１，１〉类型的亚氏量

ｄ

¬

｛

１＝０，Ｑ¬ ＝１¬ ＝１－１＝０，这时¬Ｑ＝Ｑ¬ ＝０，而Ｑ＝

词就存在这样的转换关系，请参见图３、图４。

ｄ

（Ｑ¬）＝ ¬０＝１，这时Ｑ＝Ｑ＝１，所以ｓｑｕａｒｅ（１）＝

０，１｝。故，ｓｑｕａｒｅ（０）＝ｓｑｕａｒｅ（１）＝｛０，１｝，即空量

词０与全量词１所对应的对当方阵相同。

２）假设Ｑ既不是空量词，也不是全量词，那么

（

就存在论域Ｅ，Ａ、Ｂ⊆Ｅ，使得Ｑ_Ｅ（Ａ，Ｂ），而且存在

Ｅ′，Ａ′、Ｂ′⊆Ｅ′使得，并非Ｑ_Ｅ_′（Ａ′，Ｂ′）；这对于对当方

阵中的其它量词也是一样的。例如，令Ｂ_１＝Ｅ－Ｂ，

且Ｂ_２＝Ｅ′－Ｂ′，则Ｑ_Ｅ（Ａ，Ｅ－Ｂ_１），并非Ｑ_Ｅ_′（Ａ′，Ｅ′－

Ｂ_２），即（Ｑ¬）_Ｅ（Ａ，Ｂ_１），并非（Ｑ¬）_Ｅ_′（Ａ′，Ｂ_２），因此

Ｑ¬也既不是空量词，也不是全量词。

图３．“ａｌｌ”的现代对当方阵中

量词的单调性及其相互关系

（

３）这里需要考虑（ａ）与（ｂ）两种情况。（ａ）如

果Ｑ是非足道量词０或１，那么事实１（１）已经证明

ｓｑｕａｒｅ（０）＝ｓｑｕａｒｅ（１），故结论成立。（ｂ）如果Ｑ是

足道量词。例如，我们可以证明ｓｑｕａｒｅ（Ｑ ¬）＝

ｄ

ｓｑｕａｒｅ（Ｑ）。根据定义２有：¬（Ｑ¬）＝Ｑ，（Ｑ¬）¬ ＝

ｄ

Ｑ，（Ｑ¬）＝¬（Ｑ¬）¬ ＝¬Ｑ，所以ｓｑｕａｒｅ（Ｑ¬）＝｛Ｑ¬，

ｄ

Ｑ，Ｑ， ¬Ｑ｝；再根据定义２有：¬（Ｑ）＝ ¬（¬Ｑ¬）¬

图４．“ｍｏｓｔ”的现代对当方阵中

ｄ

＝

Ｑ¬，（Ｑ）¬ ＝（¬Ｑ¬）¬ ＝ ¬Ｑ，（Ｑ）＝ ¬（¬Ｑ¬）¬ ＝

量词的单调性及其相互关系

ｄ

Ｑ，ｓｑｕａｒｅ（Ｑ）＝｛Ｑ，Ｑ¬， ¬Ｑ，Ｑ｝，可见ｓｑｕａｒｅ（Ｑ

ｄ

在图３中，↓ａｌｌ↑表示ａｌｌ是右单调递增且左单

调递减的量词，其外否定量词ｎｏｔａｌｌ的左右单调性

¬

）＝ｓｑｕａｒｅ（Ｑ）｛Ｑ¬，Ｑ，Ｑ， ¬Ｑ｝＝ｓｑｕａｒｅ（Ｑ）。

其他情况证明与此类似。

１８

林胜强ꢀ 广义量词的现代对当方阵研究

正好与它相反，是右单调递减且左单调递增的，即：

ｎｏｔａｌｌ↓，其他与此类似。图４中的〈１，１〉类型量

证明了ａｌｌ（Ｂ，Ｃ）＆Ｑ¬（Ａ，Ｃ）⇒Ｑ¬（Ａ，Ｂ）。（ｄ）

↑

此时，继续假设语句ａｌｌ（Ｂ，Ｃ）成立，对Ｑ¬（Ａ，Ｃ）

⇒Ｑ¬（Ａ，Ｂ）的两边取否定运算，可得：¬Ｑ¬（Ａ，

词“ｍｏｓｔ”的基本单调性也满足这样的转换关系；而

其斜向单调性之间也具有一定的转换关系，具体地

说：互为外否定的量词的东与西、南与北、递增与递

减正好相反；互为内否定的量词同增同减，只是东与

西正好相反；互为对偶否定的量词也同增同减，只是

南与北正好相反。

ｄ

Ｂ）⇒¬Ｑ¬（Ａ，Ｃ），再根据Ｑ＝¬Ｑ¬这一定义可知，

ｄ

Ｑ（Ａ，Ｂ）⇒Ｑ（Ａ，Ｃ），此时就证明了ａｌｌ（Ｂ，Ｃ）＆

ｄ

Ｑ（Ａ，Ｂ）⇒Ｑ（Ａ，Ｃ）。反方向的证明与此类似。

证毕。

例如，由于ｍｏｒｅｔｈａｎ２／３ｏｆ是右单调递增的量

词，若令Ｑ＝ｍｏｒｅｔｈａｎ２／３ｏｆ，则¬Ｑ＝ａｔｍｏｓｔ２／３ｏｆ，

正如广义量词是亚氏量词的扩展一样，广义三

ｄ

段论是亚氏三段论的扩展，广义三段论是指涉及广

Ｑ¬ ＝ｌｅｓｓｔｈａｎ１／３ｏｆ，Ｑ＝ａｔｌｅａｓｔ１／３ｏｆ，根据事实２

［

１６］

义量词的三段论，也叫扩展三段论。经过深入研

究，我们发现：正是由于在同一个对当方阵中，不同

广义量词的单调性之间具有可转换关系，决定了在

同一个对当方阵中，不同广义量词所对应的有效广

义三段论之间具有可化归关系。我们还是以自然语

言中占绝大多数的〈１，１〉类型的广义量词为例。在

此，笔者提出事实２，并给出其详细证明。

可得：

推论１：ｍｏｒｅｔｈａｎ２／３ｏｆ是右单调递增的，当且

仅当ａｌｌ（Ｂ，Ｃ）＆ｍｏｒｅｔｈａｎ２／３ｏｆ（Ａ，Ｂ） ⇒ｍｏｒｅ

ｔｈａｎ２／３ｏｆ（Ａ，Ｃ），当且仅当ａｌｌ（Ｂ，Ｃ）＆ａｔｍｏｓｔ

２／３ｏｆ（Ａ，Ｃ）⇒ａｔｍｏｓｔ２／３ｏｆ（Ａ，Ｂ），当且仅当ａｌｌ

（Ｂ，Ｃ）＆ｌｅｓｓｔｈａｎ１／３ｏｆ（Ａ，Ｃ）⇒ｌｅｓｓｔｈａｎ１／３ｏｆ

（Ａ，Ｂ），当且仅当ａｌｌ（Ｂ，Ｃ）＆ａｔｌｅａｓｔ１／３ｏｆ（Ａ，

Ｂ）⇒ａｔｌｅａｓｔ１／３ｏｆ（Ａ，Ｃ）。

事实２：对一个〈１，１〉类型的广义量词Ｑ而言，

Ｑ是右单调递增的，当且仅当ａｌｌ（Ｂ，Ｃ）＆Ｑ（Ａ，

Ｂ）⇒Ｑ（Ａ，Ｃ），当且仅当ａｌｌ（Ｂ，Ｃ）＆ ¬Ｑ（Ａ，Ｃ）⇒

也就是说，这四个广义三段论都是有效推理，而

且它们之间具有可化归关系。对此，我们举一个自

然语言的例子来加以说明。例如，广义三段论实例

［１］有效，当且仅当广义三段论实例［２］有效，当且

仅当广义三段论实例［３］有效，当且仅当广义三段

论实例［４］有效：

¬

（

Ｑ（Ａ，Ｂ），当且仅当ａｌｌ（Ｂ，Ｃ）＆Ｑ¬（Ａ，Ｃ）⇒Ｑ

ｄ

（Ａ，Ｂ），当且仅当ａｌｌ（Ｂ，Ｃ）＆Ｑ（Ａ，Ｂ） ⇒Ｑ

Ａ，Ｃ）。

证明：先从左到右证明。此证明分（ａ）（ｂ）（ｃ）

ｄ）四个步骤。（ａ）对一个〈１，１〉类型量词Ｑ而

（

ꢀ ꢀ ［１］前提１：所有渴望得到爱情的人都是心智健

全的人。

言，假设Ｑ是右单调递增的，根据定义１（１）右单调

递增的定义可知，对于任意的论域Ｅ和集合Ｂ与Ｃ，

如果Ｂ⊆Ｃ⊆Ｅ，那么Ｑ_Ｅ（Ａ，Ｂ）⇒Ｑ_Ｅ（Ａ，Ｃ）。再根

据广义量词理论给出的ａｌｌ的真值定义可知，对于任

意的论域Ｅ，ａｌｌ_Ｅ（Ｂ，Ｃ）⇔Ｂ⊆Ｃ⊆Ｅ。故，此时有：ａｌｌ

前提２：超过三分之二的人都渴望得到爱

情。

结ꢀ 论：超过三分之二的人都是心智健全

的人。

（

Ｂ，Ｃ）＆Ｑ（Ａ，Ｂ）⇒Ｑ（Ａ，Ｃ）。（ｂ）此时，继续假

［２］前提１：所有渴望得到爱情的人都是心智健

全的人。

设语句ａｌｌ（Ｂ，Ｃ）成立，对Ｑ（Ａ，Ｂ）⇒Ｑ（Ａ，Ｃ）的两

边取否定运算，可得：¬Ｑ（Ａ，Ｃ）⇒¬Ｑ（Ａ，Ｂ），此时

就证明了ａｌｌ（Ｂ，Ｃ）＆ ¬Ｑ（Ａ，Ｃ） ⇒¬Ｑ（Ａ，Ｂ）。

前提２：最多三分之二的人是心智健全的

人。

（

ｃ）又由于Ｑ是右单调递增的，根据其定义可知，

结ꢀ 论：最多三分之二的人渴望得到爱情。

［３］前提１：所有渴望得到爱情的人都是心智健

全的人。

对所有的Ｂ⊆Ｃ⊆Ｅ，那么Ｑ_Ｅ（Ａ，Ｂ）⇒Ｑ_Ｅ（Ａ，Ｃ）。

根据定义２（２）内否定的定义可知，（Ｑ¬）_Ｅ（Ａ，Ｃ）

⇔

Ｑ_Ｅ（Ａ，Ｅ－Ｃ），（Ｑ¬）Ｅ（Ａ，Ｂ）⇔Ｑ_Ｅ（Ａ，Ｅ－Ｂ）。

前提２：不到三分之一的人是心智健全的

人。

也就是说，内否定只对其右论元取补运算，对左论元

没有影响，这就相当于仅仅对右论元取外否定运算，

故由Ｑ_Ｅ（Ａ，Ｂ）⇒Ｑ_Ｅ（Ａ，Ｃ），可得Ｑ_Ｅ（Ａ，Ｅ－Ｃ）⇒

Ｑ_Ｅ（Ａ，Ｅ－Ｂ），即Ｑ¬（Ａ，Ｃ）⇒Ｑ¬（Ａ，Ｂ），此时就

结ꢀ 论：不到三分之一的人渴望得到爱情。

［４］前提１：所有渴望得到爱情的人都是心智健

全的人。

１９

四川师范大学学报（社会科学版）

前提２：最少三分之一的人渴望得到爱情。

对自然语言中占绝大多数的〈１，１〉类型的广义量词

而言，在同一个对当方阵中，不仅不同广义量词的单

调性之间具有可转换关系，而且不同广义量词所对

应的有效广义三段论之间具有可化归关系。由于广

义量词理论进行自然语言信息处理的方式直观简

洁，其研究成果有利于计算机的知识表示和知识推

理，因此我们有必要加强研究。

结ꢀ 论：最少三分之一的人是心智健全的

人。

综上所述，广义量词的现代对当方阵具有逻辑

一致性。对一个现代对当方阵中的任意一个广义量

词施加任意多次的三种形式的否定运算，得到的广

义量词仍然是原来的现代对当方阵中的广义量词。

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责任编辑：张ꢀ 卉］

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