第44卷第1期

2

017年1月

四川师范大学学报(社会科学版)

JournalofSichuanNormalUniversity(SocialSciencesEdition)

Vol.44,No.1

January,2017

论作为真理论的外在最小不动点理论

a,b

张亮

(浙江大学a.哲学系,b.语言与认知研究中心,杭州310028)

摘要:真谓词的内在最小不动点理论(KFS)因其弗完全性而饱受批评,外在最小不动点理论(KF)试图弥补

KFS的不足。然而其刻画的真谓词不仅不满足实质恰当性的条件,还使真谓词丧失了表达同意与不同意的功能,

另外KFS在一定程度上是自毁的。人们试图对KF进行辩护,遗憾的是,无论采取回避态度还是致力于解决这些

困难,都无法让人接受KF是一个良好的真理论。

关键词:真理;外在理论;内在理论;最小不动点理论

中图分类号:B815.3 文献标志码:A 文章编号:1000-5315(2017)01-0010-05

当代真理论的研究一般在非经典逻辑下进行,借助 =(N,_g)(其中N是语言L的模型,_g是从L_T的语句集

[1]

非经典模型来刻画真谓词。语句在非经典模型中可以

为真、为假或者其他真值,真理论者通常把在模型中为

到真值集{t,f}的部分函数) 。模型可以给予真谓词一

个一致的刻画,并且在该模型中,对任意语句A,T<A

真的语句所形成的理论称为内在理论。非经典模型可 >和A具有相同的真值并且具有相互可替换性。在M

以通过“封闭”(将所有在该模型中不真的语句规定为

假)而得到一个经典模型,并将在该“封闭”过后模型中

为真的语句所形成的理论称为真理的外在理论。最著

名的外在理论当属真理的外在最小不动点理论KF(“K”

代表克里普克,“F”代表费弗曼)。从1975年克里普克

中为真的所有语句所形成的真理论即为KFS(“S”是

“Si_gnificant”的第一个字母,表示KF中有意义的那一部

分)。

尽管KFS具有以上良好的性质,但是它也面临着许

多困难。为了更好的刻画真谓词,克里普克提出了最小

c c c

M Ng

( , )。其中_g满足,对任意

(SaulKri_pke)发表《真理论论纲》到如今,人们对KF的

不动点模型的闭模型

c

研究热情没有减少,但是KF的功能却发生了巨大的转

变:从作为一个真理论并试图用它刻画真谓词转变到作

为一个辅助的工具为刻画真谓词提供帮助。研究KF的

起源、对其的辩护以及对这些辩护的批判,将清晰地揭

示出为什么会出现这种功能上的转变。

语句A:若_g(A)=t,则_g(A)=t;否则的话,_g(A)=f。

这是KF的模型表达。在1984年发表的文章中,费弗曼

(SolomonFeferman)给出了公理系统KF(该公理系统

基于强克林三值模式,不同的赋值模式可以有不同的系

[2]

统) 。下面是其中最主要的两条公理和两个性质:

(公理)T-OUT:对L_T的任意语句A,T<A>→A;

(公理)受限的T-IN:对L的任意语句A,A→T<A

一KF与KFS

克里普克在《真理论论纲》中证明了如下事实:对任

意一个具有一定表达力的语言L,令为真谓词,语言L_T>;

为在L中加入真谓词T的语言,给定一个适当的赋值模

(性质)真谓词的排中律:对任意语句A,T<A>

式(本文以强克林三值模式为例),通过归纳构造的方 V T<A>;

式,可以为该语言构造一个非经典的最小不动点模型M

(性质)KF一致。

收稿日期:2016-07-23

基金项目:中国博士后科学基金面上资助(第59批)(2016M592009)。

作者简介:张亮(1987—),男,湖南湘潭人,浙江大学哲学系博士后研究员,主要研究方向为逻辑哲学。

10

张

亮

论作为真理论的外在最小不动点理论

从KF上述的公理和性质可以看到,KF保留了T-

OUT而限制T-IN,对真谓词完全,并且一致。

二KF产生的根本原因

弗完全性。据此,费弗曼认为KF是比KFS更加优越的

理论。

KFS的弗完全性导致的第二个后果,是KFS不能

被符合直觉地有穷公理化。KFS由在最小不动点模型

中为真的语句构成,如果人们仅仅满足于找出所有的真

语句,那么KFS作为一个真理论是合适的。然而,人们

通常希望对KFS有进一步的阐释。这时KFS只能通过

集合论语言进行阐释,KFS本身并不能对自身有进一步

的说明。正如霍思腾(LeonHorsten)所强调的,KFS“并

不是一个真正的理论,因为IKF(也即KFS)是一集可枚

举的语句,由Craig定理,它可被公理化。但是,当Craig

定理运用于IKF时,所得的结果非常奇怪,这些结果并

不能帮助我们认识真谓词的本质。严格地说,IKF不是

从上述KF与KFS的定义可以看到,它们的关系十

分密切,KF的起源似乎只是KFS研究在形式技术上的

自然延伸。然而,事实并不如此。KF产生的最根本的

原因在于KFS表达力的缺陷,其次也源于非经典赋值模

式哲学解释上的困难。为了避免这种缺陷及其带来的

不利后果,一部分人致力于构造不同于KFS的内在理

论,有人因此转向了KF。

1

.KFS的弗完全性及其不利后果

KFS表达力上的缺陷主要体现在其表达力上的不

完全。当克里普克提出用最小不动点模型来刻画真谓

词,并因此提出KFS时,他认为“这种进路使得语言能包

[4]129-130

它所要表达的真理论”

。对KFS进行公理化如此

[

1]714

含它自身的真谓词甚至它自身的可满足谓词”

,因此

困难的原因正在于其弗完全性。在对一个真理论进行

公理化时,通常要涉及到语言中的所有语句,例如“对任

意语句A,T<A>→A”这样一条直觉上应该是公理的

语句便涉及到所有的语句。然而,由于KFS不能表达某

些语句的真假,这导致凡是涉及到所有语句的公理都不

成立,因此,对其公理化只能通过非量化语句来进行。

如果凡是量化的语句都不能成为公理,那么在对KFS进

行公理化时所使用的公理并不能揭示真谓词的本质。

正因为如此,莱因哈特将为KFS提供一个适合真谓词的

公理系统视作一个挑战,到现在为止尚没有人能完成这

一挑战。既然无法对KFS进行公理化,而费弗曼又给出

了KF系统,人们自然希望通过KF以外的方式阐述

为某个特定语言构造一个真理论的愿望实现了。然而,

当他分析无根语句时,他发现:“我们能对对象语言做一

些断定,但是这些断定却不能在对象语言中做出。例

如,说谎者语句在对象语言中不真,但是我们却不能在

[

1]714

对象语言中用否定和真谓词的解释对此进行言说”

。

更详细地说,对于无根语句,KFS既不能说它真、也不能

说它不真,不能说它假、也不能说它不假,不能说它既不

真也不假、也不能说它既真又假。这样一种现象被菲尔

[

德称为KFS的弗完全性(_paracom_pleteness)

3]72

。

弗完全性所导致的后果之一,是其刻画的真谓词与

直觉相差甚远。直觉上,在基于强克林三值模式的最小

[5]

[6]

不动点模型里面,说谎者语句不真,也不假,它处于真值 KFS,例如莱因哈特和莫得林。

间隙之中,然而这些在KFS中都不可表达。如果KFS

仅仅无法表达说谎者语句的真假,也许还不必急于寻找

其替代理论,因为说谎者语句本身便有其特殊之处。更

糟的情况是,某些通常用到的语句的真假在KFS中也无

法表达。例如,语句∀x(Tx→Tx),该语句说的是,对任

意语句x,如果x是一个真语句,那么它是一个真语句;

但是,这个语句的真假在KFS中也无法表达。因此,

KFS的弗完全性与直觉有着直接的冲突。为了使得所

刻画的真谓词更好地符合直觉,克里普克引进了闭模型

2.非经典赋值模式的困难

除了上述所给出的KFS的弗完全性的理由之外,费

弗曼为KF提供了另外两个理由。其一,费弗曼认为强

克林三值赋值模式在哲学解释上并不令人满意。在该

赋值模式下,如果一个既不真也不假的语句被解释为不

知道其真值,这意味着该语句有真值但是人们无法知道

它的真值。那么,排中律应该成立。但是,在强克林赋

值模式下,它并不成立。然而,如果A被解释为无意义,

那么一个无意义的语句与一个真语句的析取也应该无

[1]714-715

[2]95

的概念

。在闭模型中,说谎者语句λ既不在最小

意义,但是在KFS中这样的语句为真

。其二,通过

不动点模型Μ中为真,也不在Μ中为假。 λ既不在M

中为真,也不在M中为假,故T<λ>在闭模型中为

真, T< λ>也在闭模型中为真。正因为如此,克里

普克认为闭模型是“能表达对象语言的真正的真谓

比较经典逻辑与非经典逻辑,费弗曼认为,经典的二值

逻辑更符合日常的推理思维,真理论也应当尽量使用二

[

2]99

值逻辑

典的KF更能刻画日常使用中的真谓词。

对KF的批评

。因此,费弗曼认为相对于非经典的KFS,经

[

1]715

词”

。费弗曼给出了KF公理系统,由其公理系统可

三

以证明T<λ>和T< λ>成立,这意味着在KF中

能表达说谎者语句既不真也不假,如此便避免了KFS的

如上所述,KF是完全的,可以谈论任何语句的真

假,并且有良好的公理化系统。然而,KF有难以克服的

11

四川师范大学学报(社会科学版)

[

3]132

缺陷,接受这些缺陷并不比接受KFS的弗完全性更容

易。

句不真,那么我甘愿限制T-OUT”

。

3.表达同意与不同意功能的丧失

1

.实质恰当性的彻底丧失

人们普遍认为真谓词应当具有表达同意与不同意

的功能(在这里假定人没有认识上的缺陷,只同意真语

句),但是KF所刻画的真谓词并不具有该功能。这种功

能上的缺陷也由其断定一个语句又断定该语句不为真

所导致。真谓词在人们表达同意与不同意的过程中不

可缺少,这一观点自莱姆塞(FrankRamsey)以来被真理

紧缩论者所普遍同意。菲尔德通过一个没有真谓词便

不能被有穷公理化的理论作为例子,很好地说明了没有

在KF中,某些Tꢀ双向条件句为假,并且存在语句

A,A和T<A>在语句中不能够相互替换。例如,令λ

为说谎者语句,那么根据对角线引理,有λ↔ T<λ>,

因此λ→ T<λ>。根据经典逻辑推理,有(λ→T<λ

>

),这意味着关于λ双向条件句在KF中为假。如果在

λ↔ T<λ>中用T<λ>代替λ的话,这会导致T<λ>

T<λ>,这在KF中不成立。也许有人可以接受存

↔

[

3]138-139

在语句A,A和T<A>在语句中不能够相互替换。然

而,自从塔斯基提出一个合格的真谓词定义的实质恰当

性条件以来,人们对这个条件或许有修改,但是没人接

受一个真理论会有纯粹假的T-双向条件句作为其理论

的一部分。在KFS中,T-双向条件句不可能为假,尽管

某些双向条件句不为真,但是对任意语句A,A和T<A

真谓词便不能表达同意与不同意

。如果真谓词确

实具有表达同意与不同意的功能,那么KF所刻画的真

谓词便是不恰当的。考虑如下两个人所说的语句:

A:说谎者语句λ不真

B:说谎者语句λ是真的

假定C是一个支持KF的人,那么他会同意A而不

同意B。然而,无论他同意或者不同意哪个语句,在KF

中这种同意和不同意都不能通过真谓词被表达出来。

因为很容易可以证明,语句T<A>, T<B>, T

>

的真值相同。基于此,菲尔德对KF进行了激烈的批

评。他认为,“尽管KFS最终不是一个恰当的理论,但是

它比FM要优越许多。相对FM来说,KFS的一个主要

的优点在于它开发了不动点的价值,而不是将其丢弃。 < A>, T< B>在KF中都成立。因此,尽管C有

在这里不动点的价值指的是,对任意的语句A,A和T<

真谓词并且C同意而不同意,但是C并不能用KF所刻

画的真谓词来表达这种同意和不同意。

[

3]69

A>完全等价”

。

2

.KF的自毁性

四

对KF的辩护与回应

存在语句A,KF同时断定A和T<A>。更糟糕

的是,尽管KF能被公理化,但是有些KF的公理在KF

中并不为真,这使得KF看上去是一个自毁的理论。下

面以说谎者语句和T-OUT为例。对于说谎者语句λ来

说,由对角线引理,有λ↔ T<λ>,又由于在KF中T

KF的支持者试图弥补上述缺陷并为其辩护,最主

要的辩护有如下三种,然而这些辩护都是不成功的。

1.作为元理论的KF

最先对KF进行辩护的是克里普克,他提出通过区

分对象语言与元语言来为KF辩护。在分析说谎者语句

时,克里普克认为:“在自然语言中,‘说谎者语句不真’

的意义必须与自然语言后面的某个阶段联系在一

<

λ>成立,故λ在KF中也成立,也即在KF中λ和T

λ>同时成立。对于T-OUT来说,由于T<λ>和λ

在闭模型中都为假,故T<λ>→λ在KF中为真,又因

为T<λ>→λ在最小不动点模型中不真不假,故它在闭 T(x)的外延并不相同,有理由认为实际上是元语言中的

<

[1]714

起。” KF所刻画的真谓词,“与对象语言中的真谓词

模型中为假,故而T<T<λ>→λ>在闭模型中也为假,

因此T<T<λ>→λ>在闭模型中为真。在公理化系

统中,也可以证明T<λ>→λ和T<T<λ>→λ>同时

成立。对于许多人来说,一个语句与说该语句不真的语

句同时成立是一个非常奇怪的性质。麦基(VannMc-

Gee)认为,这种性质割裂了“真概念和证明之间的联系,

谓词表达了被封闭的对象语言的‘真正’的真理概念,闭

语言中的T(x)在不动点封闭前定义了其真谓词。因

[1]715

此,我们仍然无法逃避对元语言的需求”

。很明显,

在这里,克里普克认为,KF是KFS的元理论,KF定义

了KFS的真谓词。

如果克里普克的上述辩护成立,那么KF作为元理

论,它所规定的是对象理论KFS中的真谓词。于是,上

述缺陷可被克服。首先,其T-双向条件句被限制到对象

语言;其次,KF的真谓词不同于KFS的真谓词,对它的

刻画需要更高层次的理论来刻画,其公理的真假也需要

有更高层次的语言来断定,而不是在KF中来进行断定,

因此不存在KF断定其自身公理不真的情况出现;再次,

…

…如果证明不能够让我们相信一个东西的话,那么我

们不知道我们为何要做证明。如果我们愿意接受其结

[7]106

论不真的推理,那么我找不到重视真理的理由”

。菲

尔德也说:“采用一个直接或间接地规定所有T-OUT语

句但是却规定某些T-OUT语句不真是一件非常奇怪的

事情。如果我们确实被逼迫必须要断定某些T-OUT语

12

张

亮

论作为真理论的外在最小不动点理论

对KFS中的语句,可以按照通常的情况来表达同意与不

同意。然而,这种辩护与克里普克希望在对象语言中定

解决KFS的弗完全性问题。因为,KF作为工具所形成

的真理论是KFS,KFS作为一个真理论在表达能力上是

严重不足的。

[

1]705

义真谓词的目的矛盾

。同时,它也会面临塔斯基分

层理论所面临着的批评,“塔斯基层次的阴影仍然伴随

3.可允许的KF

[

1]714

着我们”

。

上述两种辩护方式都试图回避KF所面临的困难,

但是在回避这些困难的时候又出现了新的困难。莫得

林(TimMaudlin)采取了一种完全不同的辩护方式,他

不试图去回避这些困难,而是强调KF无法回避这些困

难,因此我们只能面对这些困难。

对克里普克上述辩护的另一批评来自菲尔德,菲尔

德认为,克里普克没有区分语义值与真假。KFS仅仅给

出了语句的语义值,而并没有判断其真假,这意味着不

存在两种不同的真理的直觉。因此,在分析说谎者语句

时,不需要用真概念来对这些语句进行进一步的分析,

由此一来,就不会有对元语言层次的需求。正如菲尔德

所说:“我想要强调的是这些确实奇特的结论不是来自

莫得林试图通过说明有根性是一种客观性质,来论

证真理是客观的、不随着人的认识或者赋值模式的改变

[6]

而改变。莫得林基于有根性提出了KFS。很显然,

于克里普克的构建,而是将语义值与真理混淆在一起所 KFS不可避免地会受到批评。为了进行辩护,莫得林提

[

3]69

导致的。” 也许人们可以如下方式反驳菲尔德:语义

值为真是一种真,你所说的真又是另外一种真,我们还

是有两种不同的真概念。然而,由于通过分层理论来定

义真谓词,与我们关于真谓词的直觉相差太远,KF的元

理论辩护不被大多数人所接受。

出“可允许性”概念,并通过该概念区分了如下两类语

句:真语句和可允许语句(可允许语句即可断定的语

句)。之所以这样区分的理由在于,语句是否为真取决

于客观世界,而与是否得到断定没有关系。因此,当涉

及哪些语句可断定这个问题时,不需要依赖真概念,而

只需指出哪些语句可允许,哪些语句不可允许。由于真

理论不是关于世界的理论,而是关于真理的理论,因此,

2

.作为“梯子”的KF

对KF的另外一种辩护是“梯子”说。也即KF被看

做一个“梯子”,当达到目的时,这个梯子便被扔掉。这 KF的语句可以是不真但可允许的语句。由此,在KF

[5]

种辩护主要来自于莱因哈特。莱因哈特认为,真谓词

中, T<λ>这样的语句就是不真但可允许的,而T<λ

是一个部分谓词而不是全谓词,他“建议一种解释真理 >是不真但不可允许的。莫得林通过区分真语句与可

[

5]222

论的方式,这种方式将真谓词看做一个部分谓词”

。

允许性概念保存了真理的客观性,而把通常被赋予真理

的其他功能赋给了可允许性概念,例如把表达同意与不

同意的功能赋给了“可允许性”概念。莫得林通过可允

许性概念来分担真谓词所承担的功能,进而回应人们对

外在理论的指责。

在这种解释下,“有关真理的基本原则当然被限制到部

[5]229

分真谓词,然而经典的语句和逻辑是不变的”

,并且

[

5]232

这种解释是基于KF

。莱因哈特所采取的措施是区

别证明一个语句与一个语句为真,一个理论能证明一个

语句并不意味着该语句为真。KF只能被用来陈述语句

A为真的充要条件:A为真,当且仅当,KF├T<A>。

根据这种建议,KF应当仅仅被看作是一种启发式的手

段,但是一旦获得了真理论,KF便不应再参与到真谓词

的解释中,作为“梯子”,它应该被踢开。这种观点与后

来菲尔德的观点类似。菲尔德认为,KF“只能被当作一

种技术手段,以便(1)帮助受过训练的逻辑学家去指出

哪些推理在内在理论中有效;(2)作为保守性证明的基

然而,莫得林的辩护虽充满启发,但并不完善。首

先,语句可允许或者不可允许并没有确定的标准。莫得

林承认,“可允许性和不可允许性都是相对于一集规则,

[6]170

没有语句本质上是可允许的或者不可允许的”

。因

此,莫得林没有办法保证组成其真理论的语句是可允许

的。如果放弃真理论是可允许的这一主张,那么就没有

理由认为他为KF给出了一个令人满意的辩护。其次,

莫得林的“可允许”概念在很多特征上与真概念的特征

相同,人们没有理由去放弃一个已经非常习惯的真概念

转而采用“可允许性”概念,许多真理论者都表达了这一

观点。

[3]68

础” 。但是,菲尔德不认同将KF当作梯子踢走的说

法。

“

梯子”说的辩护也受到人们的批评,其中最主要的

批评来自麦基。麦基认为,即便把KF当做梯子,“当我

们接受这些公理(KF)时,我们改变了对真概念的原初概

念,而改变过后的真概念不再能发挥它的重要作用了,

因为它使得我们接受和断定不真的语句的行为变得正

对于上述诘难,莫得林的回答是:“我们现在所面临

的困难仅仅是我们的规则不能完全达到理想状态,但是

我们要学着学会与其相处。……现在仅仅存在少量的

病态性语句,由于其本身的构造,它们不能由可允许性

断定的规则给予一个满意的处理。然而,由于我们对这

[

7]106

确”

。抛开麦基的批评不谈,采取“梯子说”也无助于

13

四川师范大学学报(社会科学版)

些语句没有其它兴趣,那么忽略它们也不会有太大的害的,并且它可以形成良好的公理系统,更重要的是,该理

[

8]196

处。”

从莫得林的回答可以看到,他似乎认为,我们不

论在一定意义上克服了KFS的弗完全性。菲尔德的真

理论超出了人们的想象,当麦基看到菲尔德理论时,他

惊叹地评价到:“通过新引入的条件句,菲尔德发展了一

种理论,这种理论结合了透明性假设和逻辑表达力,我

之前认为这是一个不可能完成的一个任务。坦白说,我

一定要有一个完美的真理论,只需实用的真理论。这种

回应缺少哲学和逻辑学所应该具有的严谨性,如果不采

用这么一种忽视问题的态度,那么KF的问题仍然存在。

五

结论

[

9]422

由于KFS的弗完全性,KF的产生有其必然性,但

是它自身也有严重的缺陷。通过上述分析可以发现,KF

的缺陷并不那么容易被克服,目前还没有一个辩护方案

令人满意。另外,随着本世纪真理论的发展,真理论者

已经提出了更好的内在理论,最具有代表性的无疑是菲

尔德的高级弗完全理论。许多在KFS中不真但是日常

推理中经常用到的真语句在高级弗完全理论中都是真

完全(被这个理论)震惊了。”

这种优秀的内在理论使

得不再需要通过外在理论去弥补内在理论的缺陷。因

此,在这些具有良好性质的内在理论被提出后,外在理

论更多地被当作一种辅助工具,但由于外在理论良好的

形式性质及其与内在理论的紧密联系,它仍然能在我们

刻画真谓词时提供巨大的帮助。

参考文献

[

1]Kri_pkeS.Outlineofatheor_yofTruth[J].TheJournalo_fPhiloso_ph_y,1975,(19):690-716.

2]FefermanS.Towardusefult_y_pe-freetheories.I[J].TheJournalo_fS_ymbolicLo_gic,1984,(49):75-111.

3]FieldH.Savin_gTruth_fromParadox [M].Oxford:OxfordUniversit_yPress,2008.

4]HorstenL.TheTarskianTurn:de_flationismandaxiomatictruth [M].Massachusetts:MITPress,2011.

[

[5]ReinhardtW.N.SomeRemarksonextendin_gandinter_pretin_gtheorieswitha_partial_predicatefortruth[J].Journalo_f

PhilosophicalLogic,1986,(15):219-251.

[6]MaudlinT.TruthandParadox:solvin_gtheRiddles[M].Oxford:OxfordUniversit_yPress,2004.

[7]McGeeV.Truth,Va_guenessandParadox:AnEssa_yontheLo_gico_fTruth [M].Indiana:Hackett,1991.

[8]MaudlinT.Reducin_gReven_getoDiscomfort[C]//JCBeall.Reven_geo_ftheLiar:New Essa_ysontheParadox.Oxford:

OxfordUniversityPress,2007.

[9]McGeeV.Field’slo_gicoftruth[J].Philoso_phicalStudies,2010,(147):421-432.

AnInvesigationintotheExternalLeastFixedPointofTruth

a,b

ZHANGLiang

a.De_partmentofPhiloso_ph_y,b.ResearchCenteroflan_gua_geandco_gnition,Han_gzhou,Zhe_jian_g310028,China)

(

Abstract^:KFS^,asatruththeory^,iscriticizedwidelyforitsparacompleteness.Theexternal

leastfixedpointtheory⁽KF⁾attemptstocovertheshortageofKFS.However^,thetruthpredi-

catecharacterizedbyKFlosessomefunctionanddoesn^’tsatisfythematerialconditionfortruth.

Beside^,KFisaself-underminingtheorytosomeextent.SomedefensesforKFareraised^,inclu-

dingtheattemptstoavoiddifficultiesandtheattemptstosolvetheproblem.Unfortunately^,

thesedefensedoesn^’tmakeKFtobeamorereasonabletruththeory.

Keywords^:truth^;externaltheory^;internaltheory^;theleastfixedpointtheory

[责任编辑:帅巍]

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