44卷第1期  
2
0171月  
四川师范大学学报(社会科学版)  
JournalofSichuanNormalUniversity(SocialSciencesEdition)  
Vol.44,No.1  
January,2017  
论作为真理论的外在最小不动点理论  
a,b  
张亮  
(浙江大学a.哲学系,b.语言与认知研究中心,杭州310028)  
摘要:真谓词的内在最小不动点理论(KFS)因其弗完全性而饱受批评,外在最小不动点理论(KF)试图弥补  
KFS的不足然而其刻画的真谓词不仅不满足实质恰当性的条件,还使真谓词丧失了表达同意与不同意的功能,  
另外KFS在一定程度上是自毁的人们试图对KF进行辩护,遗憾的是,无论采取回避态度还是致力于解决这些  
困难,都无法让人接受KF是一个良好的真理论。  
关键词:真理;外在理论;内在理论;最小不动点理论  
中图分类号:B815.3 文献标志码:A 文章编号:1000-5315(2017)01-0010-05  
当代真理论的研究一般在非经典逻辑下进行,借助 =(N,g)(其中N是语言L的模型,g是从LT 的语句集  
[1]  
非经典模型来刻画真谓词语句在非经典模型中可以  
为真为假或者其他真值,真理论者通常把在模型中为  
到真值集{t,f}的部分函数) 。模型可以给予真谓词一  
个一致的刻画,并且在该模型中,对任意语句A,T<A  
真的语句所形成的理论称为内在理论非经典模型可 >A具有相同的真值并且具有相互可替换性M  
以通过封闭”(将所有在该模型中不真的语句规定为  
)而得到一个经典模型,并将在该封闭过后模型中  
为真的语句所形成的理论称为真理的外在理论最著  
名的外在理论当属真理的外在最小不动点理论KF(“K”  
代表克里普克,“F代表费弗曼)。1975年克里普克  
中为真的所有语句所形成的真理论即为KFS(“S是  
Significant的第一个字母,表示KF中有意义的那一部  
)。  
尽管KFS具有以上良好的性质,但是它也面临着许  
多困难为了更好的刻画真谓词,克里普克提出了最小  
c c c  
M Ng  
( , )。其中g满足,对任意  
(SaulKripke)发表真理论论纲到如今,人们对KF的  
不动点模型的闭模型  
c
c
研究热情没有减少,但是KF的功能却发生了巨大的转  
:从作为一个真理论并试图用它刻画真谓词转变到作  
为一个辅助的工具为刻画真谓词提供帮助研究KF的  
起源对其的辩护以及对这些辩护的批判,将清晰地揭  
示出为什么会出现这种功能上的转变。  
语句A:g(A)=t,g(A)=t;否则的话,g(A)=f。  
这是KF的模型表达1984年发表的文章中,费弗曼  
(SolomonFeferman)给出了公理系统KF(该公理系统  
基于强克林三值模式,不同的赋值模式可以有不同的系  
[2]  
) 。下面是其中最主要的两条公理和两个性质:  
(公理)T-OUT:LT 的任意语句A,T<A>→A;  
(公理)受限的T-IN:L的任意语句A,A→T<A  
KFKFS  
克里普克在真理论论纲中证明了如下事实:对任  
意一个具有一定表达力的语言L,令为真谓词,语言LT >;  
为在L中加入真谓词T的语言,给定一个适当的赋值模  
(性质)真谓词的排中律:对任意语句A,T<A>  
(本文以强克林三值模式为例),通过归纳构造的方 V T<A>;  
,可以为该语言构造一个非经典的最小不动点模型M  
(性质)KF一致。  
收稿日期:2016-07-23  
基金项目:中国博士后科学基金面上资助(59)(2016M592009)。  
作者简介:张亮(1987—),,湖南湘潭人,浙江大学哲学系博士后研究员,主要研究方向为逻辑哲学。  
10  
论作为真理论的外在最小不动点理论  
KF上述的公理和性质可以看到,KF保留了T-  
OUT而限制T-IN,对真谓词完全,并且一致。  
KF产生的根本原因  
弗完全性据此,费弗曼认为KF是比KFS更加优越的  
理论。  
KFS的弗完全性导致的第二个后果,KFS不能  
被符合直觉地有穷公理化KFS由在最小不动点模型  
中为真的语句构成,如果人们仅仅满足于找出所有的真  
语句,那么KFS作为一个真理论是合适的然而,人们  
通常希望对KFS有进一步的阐释这时KFS只能通过  
集合论语言进行阐释,KFS本身并不能对自身有进一步  
的说明正如霍思腾(LeonHorsten)所强调的,KFS并  
不是一个真正的理论,因为IKF(也即KFS)是一集可枚  
举的语句,Craig定理,它可被公理化但是,Craig  
定理运用于IKF,所得的结果非常奇怪,这些结果并  
不能帮助我们认识真谓词的本质严格地说,IKF不是  
从上述KFKFS的定义可以看到,它们的关系十  
分密切,KF的起源似乎只是KFS研究在形式技术上的  
自然延伸然而,事实并不如此KF产生的最根本的  
原因在于KFS表达力的缺陷,其次也源于非经典赋值模  
式哲学解释上的困难为了避免这种缺陷及其带来的  
不利后果,一部分人致力于构造不同于KFS的内在理  
,有人因此转向了KF。  
1
.KFS的弗完全性及其不利后果  
KFS表达力上的缺陷主要体现在其表达力上的不  
完全当克里普克提出用最小不动点模型来刻画真谓  
,并因此提出KFS,他认为这种进路使得语言能包  
[4]129-130  
它所要表达的真理论”  
KFS进行公理化如此  
[
1]714  
含它自身的真谓词甚至它自身的可满足谓词”  
,因此  
困难的原因正在于其弗完全性在对一个真理论进行  
公理化时,通常要涉及到语言中的所有语句,例如对任  
意语句A,T<A>→A这样一条直觉上应该是公理的  
语句便涉及到所有的语句然而,由于KFS不能表达某  
些语句的真假,这导致凡是涉及到所有语句的公理都不  
成立,因此,对其公理化只能通过非量化语句来进行。  
如果凡是量化的语句都不能成为公理,那么在对KFS进  
行公理化时所使用的公理并不能揭示真谓词的本质。  
正因为如此,莱因哈特将为KFS提供一个适合真谓词的  
公理系统视作一个挑战,到现在为止尚没有人能完成这  
一挑战既然无法对KFS进行公理化,而费弗曼又给出  
KF系统,人们自然希望通过KF以外的方式阐述  
为某个特定语言构造一个真理论的愿望实现了然而,  
当他分析无根语句时,他发现:“我们能对对象语言做一  
些断定,但是这些断定却不能在对象语言中做出例  
,说谎者语句在对象语言中不真,但是我们却不能在  
[
1]714  
对象语言中用否定和真谓词的解释对此进行言说”  
更详细地说,对于无根语句,KFS既不能说它真也不能  
说它不真,不能说它假也不能说它不假,不能说它既不  
真也不假也不能说它既真又假这样一种现象被菲尔  
[
德称为KFS的弗完全性(paracompleteness)  
3]72  
弗完全性所导致的后果之一,是其刻画的真谓词与  
直觉相差甚远直觉上,在基于强克林三值模式的最小  
[5]  
[6]  
不动点模型里面,说谎者语句不真,也不假,它处于真值 KFS,例如莱因哈特和莫得林。  
间隙之中,然而这些在KFS中都不可表达如果KFS  
仅仅无法表达说谎者语句的真假,也许还不必急于寻找  
其替代理论,因为说谎者语句本身便有其特殊之处更  
糟的情况是,某些通常用到的语句的真假在KFS中也无  
法表达例如,语句∀x(Tx→Tx),该语句说的是,对任  
意语句x,如果x是一个真语句,那么它是一个真语句;  
但是,这个语句的真假在KFS中也无法表达因此,  
KFS的弗完全性与直觉有着直接的冲突为了使得所  
刻画的真谓词更好地符合直觉,克里普克引进了闭模型  
2.非经典赋值模式的困难  
除了上述所给出的KFS的弗完全性的理由之外,费  
弗曼为KF提供了另外两个理由其一,费弗曼认为强  
克林三值赋值模式在哲学解释上并不令人满意在该  
赋值模式下,如果一个既不真也不假的语句被解释为不  
知道其真值,这意味着该语句有真值但是人们无法知道  
它的真值那么,排中律应该成立但是,在强克林赋  
值模式下,它并不成立然而,如果A被解释为无意义,  
那么一个无意义的语句与一个真语句的析取也应该无  
[1]714-715  
[2]95  
的概念  
在闭模型中,说谎者语句λ既不在最小  
意义,但是在KFS中这样的语句为真  
其二,通过  
不动点模型Μ中为真,也不在Μ中为假λ既不在M  
中为真,也不在M中为假,T<λ>在闭模型中为  
, T< λ>也在闭模型中为真正因为如此,克里  
普克认为闭模型是能表达对象语言的真正的真谓  
比较经典逻辑与非经典逻辑,费弗曼认为,经典的二值  
逻辑更符合日常的推理思维,真理论也应当尽量使用二  
[
2]99  
值逻辑  
典的KF更能刻画日常使用中的真谓词。  
KF的批评  
因此,费弗曼认为相对于非经典的KFS,经  
[
1]715  
”  
费弗曼给出了KF公理系统,由其公理系统可  
以证明T<λ>T< λ>成立,这意味着在KF中  
能表达说谎者语句既不真也不假,如此便避免了KFS的  
如上所述,KF是完全的,可以谈论任何语句的真  
,并且有良好的公理化系统然而,KF有难以克服的  
11  
四川师范大学学报(社会科学版)  
[
3]132  
缺陷,接受这些缺陷并不比接受KFS的弗完全性更容  
。  
句不真,那么我甘愿限制T-OUT”  
3.表达同意与不同意功能的丧失  
1
.实质恰当性的彻底丧失  
人们普遍认为真谓词应当具有表达同意与不同意  
的功能(在这里假定人没有认识上的缺陷,只同意真语  
),但是KF所刻画的真谓词并不具有该功能这种功  
能上的缺陷也由其断定一个语句又断定该语句不为真  
所导致真谓词在人们表达同意与不同意的过程中不  
可缺少,这一观点自莱姆塞(FrankRamsey)以来被真理  
紧缩论者所普遍同意菲尔德通过一个没有真谓词便  
不能被有穷公理化的理论作为例子,很好地说明了没有  
KF,某些Tꢀ双向条件句为假,并且存在语句  
A,AT<A>在语句中不能够相互替换例如,λ  
为说谎者语句,那么根据对角线引理,λ↔ T<λ>,  
因此λ→ T<λ>根据经典逻辑推理,(λ→T<λ  
>
),这意味着关于λ双向条件句在KF中为假如果在  
λ↔ T<λ>中用T<λ>代替λ的话,这会导致T<λ>  
T<λ>,这在KF中不成立也许有人可以接受存  
[
3]138-139  
在语句A,AT<A>在语句中不能够相互替换然  
,自从塔斯基提出一个合格的真谓词定义的实质恰当  
性条件以来,人们对这个条件或许有修改,但是没人接  
受一个真理论会有纯粹假的T-双向条件句作为其理论  
的一部分KFS,T-双向条件句不可能为假,尽管  
某些双向条件句不为真,但是对任意语句A,AT<A  
真谓词便不能表达同意与不同意  
如果真谓词确  
实具有表达同意与不同意的功能,那么KF所刻画的真  
谓词便是不恰当的考虑如下两个人所说的语句:  
A:说谎者语句λ不真  
B:说谎者语句λ是真的  
假定C是一个支持KF的人,那么他会同意A而不  
同意B然而,无论他同意或者不同意哪个语句,KF  
中这种同意和不同意都不能通过真谓词被表达出来。  
因为很容易可以证明,语句T<A>, T<B>, T  
>
的真值相同基于此,菲尔德对KF进行了激烈的批  
他认为,“尽管KFS最终不是一个恰当的理论,但是  
它比FM要优越许多相对FM来说,KFS的一个主要  
的优点在于它开发了不动点的价值,而不是将其丢弃< A>, T< B>KF中都成立因此,尽管C有  
在这里不动点的价值指的是,对任意的语句A,AT<  
真谓词并且C同意而不同意,但是C并不能用KF所刻  
画的真谓词来表达这种同意和不同意。  
[
3]69  
A>完全等价”  
2
.KF的自毁性  
KF的辩护与回应  
存在语句A,KF同时断定AT<A>更糟糕  
的是,尽管KF能被公理化,但是有些KF的公理在KF  
中并不为真,这使得KF看上去是一个自毁的理论下  
面以说谎者语句和T-OUT为例对于说谎者语句λ来  
,由对角线引理,λ↔ T<λ>,又由于在KFT  
KF的支持者试图弥补上述缺陷并为其辩护,最主  
要的辩护有如下三种,然而这些辩护都是不成功的。  
1.作为元理论的KF  
最先对KF进行辩护的是克里普克,他提出通过区  
分对象语言与元语言来为KF辩护在分析说谎者语句  
,克里普克认为:“在自然语言中,‘说谎者语句不真’  
的意义必须与自然语言后面的某个阶段联系在一  
<
λ>成立,λKF中也成立,也即在KFλT  
λ>同时成立对于T-OUT来说,由于T<λ>λ  
在闭模型中都为假,T<λ>→λKF中为真,又因  
T<λ>→λ在最小不动点模型中不真不假,故它在闭 T(x)的外延并不相同,有理由认为实际上是元语言中的  
<
[1]714  
。” KF所刻画的真谓词,“与对象语言中的真谓词  
模型中为假,故而T<T<λ>→λ>在闭模型中也为假,  
因此T<T<λ>→λ>在闭模型中为真在公理化系  
统中,也可以证明T<λ>→λT<T<λ>→λ>同时  
成立对于许多人来说,一个语句与说该语句不真的语  
句同时成立是一个非常奇怪的性质麦基(VannMc-  
Gee)认为,这种性质割裂了真概念和证明之间的联系,  
谓词表达了被封闭的对象语言的真正的真理概念,闭  
语言中的T(x)在不动点封闭前定义了其真谓词因  
[1]715  
,我们仍然无法逃避对元语言的需求”  
很明显,  
在这里,克里普克认为,KFKFS的元理论,KF定义  
KFS的真谓词。  
如果克里普克的上述辩护成立,那么KF作为元理  
,它所规定的是对象理论KFS中的真谓词于是,上  
述缺陷可被克服首先,T-双向条件句被限制到对象  
语言;其次,KF的真谓词不同于KFS的真谓词,对它的  
刻画需要更高层次的理论来刻画,其公理的真假也需要  
有更高层次的语言来断定,而不是在KF中来进行断定,  
因此不存在KF断定其自身公理不真的情况出现;再次,  
如果证明不能够让我们相信一个东西的话,那么我  
们不知道我们为何要做证明如果我们愿意接受其结  
[7]106  
论不真的推理,那么我找不到重视真理的理由”  
菲  
尔德也说:“采用一个直接或间接地规定所有T-OUT语  
句但是却规定某些T-OUT语句不真是一件非常奇怪的  
事情如果我们确实被逼迫必须要断定某些T-OUT语  
12  
论作为真理论的外在最小不动点理论  
KFS中的语句,可以按照通常的情况来表达同意与不  
同意然而,这种辩护与克里普克希望在对象语言中定  
解决KFS的弗完全性问题因为,KF作为工具所形成  
的真理论是KFS,KFS作为一个真理论在表达能力上是  
严重不足的。  
[
1]705  
义真谓词的目的矛盾  
同时,它也会面临塔斯基分  
层理论所面临着的批评,“塔斯基层次的阴影仍然伴随  
3.可允许的KF  
[
1]714  
着我们”  
上述两种辩护方式都试图回避KF所面临的困难,  
但是在回避这些困难的时候又出现了新的困难莫得  
(TimMaudlin)采取了一种完全不同的辩护方式,他  
不试图去回避这些困难,而是强调KF无法回避这些困  
,因此我们只能面对这些困难。  
对克里普克上述辩护的另一批评来自菲尔德,菲尔  
德认为,克里普克没有区分语义值与真假KFS仅仅给  
出了语句的语义值,而并没有判断其真假,这意味着不  
存在两种不同的真理的直觉因此,在分析说谎者语句  
,不需要用真概念来对这些语句进行进一步的分析,  
由此一来,就不会有对元语言层次的需求正如菲尔德  
所说:“我想要强调的是这些确实奇特的结论不是来自  
莫得林试图通过说明有根性是一种客观性质,来论  
证真理是客观的不随着人的认识或者赋值模式的改变  
[6]  
而改变莫得林基于有根性提出了KFS很显然,  
于克里普克的构建,而是将语义值与真理混淆在一起所 KFS不可避免地会受到批评为了进行辩护,莫得林提  
[
3]69  
导致的。” 也许人们可以如下方式反驳菲尔德:语义  
值为真是一种真,你所说的真又是另外一种真,我们还  
是有两种不同的真概念然而,由于通过分层理论来定  
义真谓词,与我们关于真谓词的直觉相差太远,KF的元  
理论辩护不被大多数人所接受。  
可允许性概念,并通过该概念区分了如下两类语  
:真语句和可允许语句(可允许语句即可断定的语  
)。之所以这样区分的理由在于,语句是否为真取决  
于客观世界,而与是否得到断定没有关系因此,当涉  
及哪些语句可断定这个问题时,不需要依赖真概念,而  
只需指出哪些语句可允许,哪些语句不可允许由于真  
理论不是关于世界的理论,而是关于真理的理论,因此,  
2
.作为梯子KF  
KF的另外一种辩护是梯子也即KF被看  
做一个梯子”,当达到目的时,这个梯子便被扔掉KF的语句可以是不真但可允许的语句由此,KF  
[5]  
种辩护主要来自于莱因哈特莱因哈特认为,真谓词  
, T<λ>这样的语句就是不真但可允许的,T<λ  
是一个部分谓词而不是全谓词,建议一种解释真理 >是不真但不可允许的莫得林通过区分真语句与可  
[
5]222  
论的方式,这种方式将真谓词看做一个部分谓词”  
允许性概念保存了真理的客观性,而把通常被赋予真理  
的其他功能赋给了可允许性概念,例如把表达同意与不  
同意的功能赋给了可允许性概念莫得林通过可允  
许性概念来分担真谓词所承担的功能,进而回应人们对  
外在理论的指责。  
在这种解释下,“有关真理的基本原则当然被限制到部  
[5]229  
分真谓词,然而经典的语句和逻辑是不变的”  
,并且  
[
5]232  
这种解释是基于KF  
莱因哈特所采取的措施是区  
别证明一个语句与一个语句为真,一个理论能证明一个  
语句并不意味着该语句为真KF只能被用来陈述语句  
A为真的充要条件:A为真,当且仅当,KF├T<A>。  
根据这种建议,KF应当仅仅被看作是一种启发式的手  
,但是一旦获得了真理论,KF便不应再参与到真谓词  
的解释中,作为梯子”,它应该被踢开这种观点与后  
来菲尔德的观点类似菲尔德认为,KF只能被当作一  
种技术手段,以便(1)帮助受过训练的逻辑学家去指出  
哪些推理在内在理论中有效;(2)作为保守性证明的基  
然而,莫得林的辩护虽充满启发,但并不完善首  
,语句可允许或者不可允许并没有确定的标准莫得  
林承认,“可允许性和不可允许性都是相对于一集规则,  
[6]170  
没有语句本质上是可允许的或者不可允许的”  
因  
,莫得林没有办法保证组成其真理论的语句是可允许  
如果放弃真理论是可允许的这一主张,那么就没有  
理由认为他为KF给出了一个令人满意的辩护其次,  
莫得林的可允许概念在很多特征上与真概念的特征  
相同,人们没有理由去放弃一个已经非常习惯的真概念  
转而采用可允许性概念,许多真理论者都表达了这一  
观点。  
[3]68  
” 。但是,菲尔德不认同将KF当作梯子踢走的说  
。  
梯子说的辩护也受到人们的批评,其中最主要的  
批评来自麦基麦基认为,即便把KF当做梯子,“当我  
们接受这些公理(KF),我们改变了对真概念的原初概  
,而改变过后的真概念不再能发挥它的重要作用了,  
因为它使得我们接受和断定不真的语句的行为变得正  
对于上述诘难,莫得林的回答是:“我们现在所面临  
的困难仅仅是我们的规则不能完全达到理想状态,但是  
我们要学着学会与其相处。……现在仅仅存在少量的  
病态性语句,由于其本身的构造,它们不能由可允许性  
断定的规则给予一个满意的处理然而,由于我们对这  
[
7]106  
”  
抛开麦基的批评不谈,采取梯子说也无助于  
13  
四川师范大学学报(社会科学版)  
些语句没有其它兴趣,那么忽略它们也不会有太大的害 的,并且它可以形成良好的公理系统,更重要的是,该理  
[
8]196  
。”  
从莫得林的回答可以看到,他似乎认为,我们不  
论在一定意义上克服了KFS的弗完全性菲尔德的真  
理论超出了人们的想象,当麦基看到菲尔德理论时,他  
惊叹地评价到:“通过新引入的条件句,菲尔德发展了一  
种理论,这种理论结合了透明性假设和逻辑表达力,我  
之前认为这是一个不可能完成的一个任务坦白说,我  
一定要有一个完美的真理论,只需实用的真理论这种  
回应缺少哲学和逻辑学所应该具有的严谨性,如果不采  
用这么一种忽视问题的态度,那么KF的问题仍然存在。  
结论  
[
9]422  
由于KFS的弗完全性,KF的产生有其必然性,但  
是它自身也有严重的缺陷通过上述分析可以发现,KF  
的缺陷并不那么容易被克服,目前还没有一个辩护方案  
令人满意另外,随着本世纪真理论的发展,真理论者  
已经提出了更好的内在理论,最具有代表性的无疑是菲  
尔德的高级弗完全理论许多在KFS中不真但是日常  
推理中经常用到的真语句在高级弗完全理论中都是真  
完全(被这个理论)震惊了。”  
这种优秀的内在理论使  
得不再需要通过外在理论去弥补内在理论的缺陷因  
,在这些具有良好性质的内在理论被提出后,外在理  
论更多地被当作一种辅助工具,但由于外在理论良好的  
形式性质及其与内在理论的紧密联系,它仍然能在我们  
刻画真谓词时提供巨大的帮助。  
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AnInvesigationintotheExternalLeastFixedPointofTruth  
a,b  
ZHANGLiang  
a.DepartmentofPhilosophy,b.ResearchCenteroflanguageandcognition,Hangzhou,Zhejiang310028,China)  
(
Abstract:KFS,asatruththeory,iscriticizedwidelyforitsparacompleteness.Theexternal  
leastfixedpointtheory(KF)attemptstocovertheshortageofKFS.However,thetruthpredi-  
catecharacterizedbyKFlosessomefunctionanddoesntsatisfythematerialconditionfortruth.  
Beside,KFisaself-underminingtheorytosomeextent.SomedefensesforKFareraised,inclu-  
dingtheattemptstoavoiddifficultiesandtheattemptstosolvetheproblem.Unfortunately,  
thesedefensedoesntmakeKFtobeamorereasonabletruththeory.  
Keywords:truth;externaltheory;internaltheory;theleastfixedpointtheory  
[责任编辑:帅巍]  
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