第44卷第1期

2

017年1月

四川师范大学学报(社会科学版)

JournalofSichuanNormalUniversity(SocialSciencesEdition)

Vol.44,No.1

January,2017

关于广义量词_m_a_n_y的广义三段论推理

a,b

李晟,袁兆隆

(四川师范大学a.逻辑与信息研究所,b.政治教育学院,成都610066)

摘要:三段论在自然语言信息处理和知识推理中占据着突出的地位,它们在自亚里士多德以来的逻辑中也一

直扮演着重要作用。我们用广义量词man_y对传统三段论推理进行了扩展,利用广义量词理论和集合论,从语法上

证明了14个广义三段论推理的有效性。这一方法为其他广义量词的广义三段论提供了一个简单合理的数学模

式。

关键词:传统三段论;广义三段论;广义量词;推理

中图分类号:B812.23 文献标志码:A 文章编号:1000-5315(2017)01-0015-05

[

4]

一

引言

自亚里士多德以来的古代逻辑对直言三段论

_c_a_t_e_g_o_r_i_c_a_l_s_y_l_l_o_g_i_s_m_s)、假言三段论(_h_y_p_o_t_h_e_t_i_c_a_l

因此也叫做扩展三段论。正如对传统三段论的有

效性加以判断是经典逻辑的重要内容一样,对广义

三段论的有效性加以判断则是现代逻辑(尤其是自

然语言逻辑,更具体地说是广义量词理论)的重要内

容。

(

[1]

_s_y_l_l_o_g_i_s_m_s₎、预疑三段论(_p_r_o_s_l_e_p_t_i_c_s_y_l_l_o_g_i_s_m_s) 、

模态三段论都有所研究。其中,影响最为广泛的是

起源于亚里士多德的直言三段论,在直言三段论的

基础上,经过哲学家和逻辑学家们的改进和发展,逐

对于广义三段论及其有效性的研究,国外学者

[5]

取得了可喜的成果。比如:Moss(2010) 使用动词

[2]

渐形成了传统三段论。经过深入研究,一些学者 see或love对传统三段论逻辑进行了扩展,在此基

发现大多数自然语言推理不仅仅与传统三段论推理

础上,给出了关于{all,some,see}这一英语语言片

有关,而且还与广义三段论(_generalizeds_yllo-

段的完全性和可靠性证明;Murinová和Novák

[3]

[6]

[7]

)

推理有关

。

⁽2012 Peterson⁽2000

) 在

) 的广义三段论研究的

gisms

传统三段论揭示的是一阶逻辑中的标准量词

即全称量词和存在量词)推理性质。在₂₅₆个传统

基础上,利用模糊类型论(fuzz_yt_y_petheor_y)这一高

阶模糊逻辑的知识,从语法上形式化地证明了包括

(

三段论中,只有24个三段论才是有效的。事实上, 24个有效的传统三段论在内的105个广义三段论

[

8]124-139

在自然语言中,大部分三段论是广义三段论,传统三

段论仅仅占一小部分。广义三段论揭示的是广义量

词的推理性质。正如广义量词是一阶逻辑中的标准

的有效性。Endrullis和Moss(2015)

研究了

关于most这一居间量词(intermediate_quantifier)

的广义三段论的有效性,并给出了关于{all,some,

量词的扩展一样,广义三段论是传统三段论的扩展, most}这一英语语言片段的完全性和可靠性证明。

收稿日期:2016-03-06

基金项目:国家社科基金西部项目“面向中文信息处理的汉语主谓句的逻辑语义及其推理模式研究”(15XYY012)。

作者简介:李晟(1986—),男,四川德阳人,逻辑学博士,四川师范大学逻辑与信息研究所研究员,主要研究现代逻辑、自然语言

逻辑等;

袁兆隆(1992—),男,广东中山人,四川师范大学政治教育学院硕士研究生,主要研究现代逻辑和自然语言逻辑。

15

四川师范大学学报(社会科学版)

虽然国外学者对广义三段论及其有效性的研究

取得了这些成果,但是这些研究都存在着一定的缺

(3)some(S,P)⇔S∩P≠Ø;

(4)some(S, P)⇔S⊈P;

[6]

憾。比如Murinová和Novák(2012) 利用模糊类

(5)most(S,P)⇔|S∩P|≥0.5|S|;

型论这一高阶模糊逻辑知识,对广义三段论的证明

(6)most(S, P)⇔|S∩P|<0.5|S|;

[9]

过程显得繁琐复杂。我们发现利用广义量词理论

(7)man_y(S,P)⇔|S∩P|≥0.6|S|;

和集合论的知识,就可以简洁明了地对广义三段论

进行形式化及其有效性的证明。这正是本文主旨之

所在。

(8)man_y(S, P)⇔|S∩P|<0.4|S|;

(9)almostall(S,P)⇔|S∩P|≥0.9|S|;

(10)almostall(S, P)⇔|S∩P|<0.1|S|。

其中(5)ꢀ(10)中的0.5、06、0.4、0.9、0.1是人

为规定的加权系数。虽然不同的人给出的系数可能

不一样,但这并不会影响后面广义三段论的有效性

的证明。比如,若把(9)改为:almostall(S,P)⇔|S

正如广义量词可以包括一阶逻辑中的标准量词

一样,广义三段论可以包括传统三段论。在下文中,

如果没有特别说明,广义量词都是指包含一阶逻辑

中的两个标准量词的广义量词,广义三段论都是指

包含传统三段论在内的广义三段论。限于篇幅原 ∩P|≥0.95|S|,相应地,(10)就应该改为:almost

因,本文把重点放在自然语言中常见的广义量词 all(S, P)⇔|S∩P|<0.05|S|。由于P与P这

many的广义三段论的有效性的探讨上^。

相关基础知识

P P^互

两个集合互补,不论加权系数如何改变, 与

二

补关系是不会改变的,因此,不同的系数不会改变所

对应的广义三段论的有效性及其证明。

根据定义1,直观上,在相同的论域下,我们很

容易得到以下事实。

广义量词包括:全称量词和存在量词、限定词、

以及由a/an、the或其他量化关系指称所形成的所

有名词短语。比如,正好三个小孩、你的手、所有的

商品、几乎不、没有、两者都不、一打的、不超过五分

之三的等,都是广义量词。在自然语言中,最常见的

广义量词是<1>类型量词和<1,1>类型量词,而且“对

事实0:

(1)all(S,P)⇒most(S,P);

(2)no(S,P)⇒most(S, P);

^<1^>^类^型^量^词^的^研^究^常^常^可^以^转^化^成^对^<¹^,¹^>^类^型^量

⁽3⁾most⁽S^,P⁾⇒some⁽S^,P⁾^;

[10]16

词的研究”

,因此,<1,1>类型量词是广义量词理

(4)most(S, P)⇒some(S, P);

论研究的重点。在自然语言中,大多数限定词对应

的都是<1,1>类型广义量词。

(5)almostall(S,P)⇒most(S,P);

(6)almostall(S, P)⇒most(S, P);

(7)man_y(S,P)⇒some(S,P);

在本文中,S表示语句主语或三段论的小项所

表示对象组成的集合,P表示语句谓语或三段论的

大项所表示对象组成的集合,M表示三段论的中项

所表示对象组成的集合,广义量词用其对应的英语

来表示。不论是英语,还是汉语,包含<1,1>类型广

义量词的语句都可以形式化地表示成Q(S,P)这样

(8)man_y(S, P)⇒some(S, P);

(9)almostall(S,P)⇒man_y(S,P);

(10)almostall(S, P)⇒man_y(S, P);

(11)man_y(S,P)⇒most(S,P);

(12)man_y(S, P)⇒most(S, P)。

[

10]16

的三分结构

为all(S,P);“很多S都是P”可表示为man_y(S,

;而“大多数_S_都_不_是_P_”_可_表_示_为_m_o_s_t₍_S_,_P₎_;

。比如:“所有的S都是P”可表示

(1)的意思是,由“所有的S都是P”,可以推出

“大多数S都是P”;(4)的意思是,由“大多数S都不

是_P”,可以推出“有些_S_不_是_P”;其他的意思类似。

)

P

“_几_乎_所_有_的_S_都_不_是_P_”_可_表_示_为_a_l_m_o_s_t_a_l_l₍_S_,

证明:()假设

( , )成立,根据定义₁的

1 allS P

)

;其他表示方法与此类似。

1 allSP⇔S⊆P^,^而|S∩P|=|S|≥0.5|S

()可知: (, )

P

下面我们给出本文将用到的广义量词的真值定 |,即|S∩P|≥0.5|S|,再根据定义1的(5)“most

(S,P)⇔|S∩P|≥0.5|S|”可知:most(S,P)成立。

义。

定义1:常见广义量词的真值定义

证毕。

⁽⁴⁾^假^设^命^题^不^成^立^,^即most⁽S^,P⁾^成^立^,^但

some⁽S^,P⁾^不^成^立^,^即some⁽S^,P⁾^成^立^。^根

(

⁾all⁽S^,P⁾⇔S⊆P^;

1

(

2

) (, )

_n_o_S_P_⇔_S_∩_P₌_Ø;

16

李

晟

袁兆隆关于广义量词man_y的广义三段论推理

据定义1的(4)可知: some(S, P)⇔ (S⊈P) |S|,因此,|S∩P|≥0.9|S|。再根据almostall的

真值定义可知: (, )成立。再根据事实

S⊆P |S∩P|=|S|^。^又^由^于most⁽S^, P⁾^成

,

则

almostallSP

立,根据定义1的(6)可知:most(S,P)⇔|S∩P|< 0的(9)“almostall(S,P)⇒man_y(S,P)”可知:

这就与_|_S_∩_P_|₌_|_S_|产生了矛盾,所以,假 (, )成立。证毕。

⇔

,

0.5|S|

manySP

设不成立,故most(S, P)⇒some(S, P)。证

毕。

事实5:广义三段论no(M,P)&almostall(S,

M)⇒man_y(S, P)是有效的。

⁽8⁾^的^证^明^与⁽⁴⁾^的^证^明^类^似^,^而^其^他^的^证^明^则

^证^明^:^假^设no⁽M^,P⁾&almostall⁽S^,M⁾^这

与(1)的证明类似。

两个前提都成立,那么根据no和almostall的真值

三

关于man_y的有效的广义三段论推理模式

定义可知:no(M,P)⇔M∩P=Ø,almostall(S,

M)⇔|S∩M|≥0.9|S|。即:M∩P=Ø且|S∩M|

及其证明

[6]

在Murinová与Novák(2012) 、林胜强和张 ≥0.9|S|,因此,|S∩P|<0.1|S|。再根据定义1的

[

11]

[12]

晓君(2014) 、张晓君(2014) 等人工作的基础

上,我们可给出如下14个关于man_y的有效的广义 almostall(S, P)成立。再根据事实0的(10)“al-

三段论推理模式及其证明。 mostall(S, P)⇒man_y(S, P)”可知:man_y(S,

事实1:广义三段论all(M,P)&man_y(S,M) P)成立。证毕。

, )是有效的。

(10)“almostall(S, P)⇔|S∩P|<0.1|S|”可知:

⇒

many⁽SP ^事^实⁶^:^广^义^三^段^论no⁽M^,P⁾&many⁽S^,M⁾

证明:假设all(M,P)&man_y(S,M)这两个 ⇒man_y(S, P)是有效的。

前提都成立,那么根据定义1对all和man_y的真值

定义可知:all(M,P)⇔M⊆P,man_y(S,M)⇔|S∩

事实6的证明与事实5的证明类似。

事实7:广义三段论all(P,M)&no(S,M)⇒

M|≥0.6|S|^。^即^:M⊆P^且|S∩M|≥0.6|S|^,^因^此^,

many⁽S^,P⁾^是^有^效^的^。

|

S∩P|≥0.6|S|^。

^再^根^据many^的^真^值^定^义^可^知^:

^证^明^:^假^设all⁽P^,M⁾&no⁽S^,M⁾^这^两^个^前

, )成立。证毕。

many⁽SP

提都成立,那么根据_a_l_l_和_n_o的真值定义可知:_a_l_l

例如:(1)大前提:所有的苹果都卖完了。

小前提:很多上周进的水果都是苹果。

结论:很多上周进的水果都卖完了。

(P,M)⇔P⊆M,no(S,M)⇔S∩M=Ø。即:P⊆M

且S∩M=Ø,因此,|S∩P|=Ø,|S∩P|=Ø<0.4|

S|成立。再根据定义1的(8)“man_y(S, P)⇔|S∩

这一广义三段论实例例证了事实1是有效的。 P|<0.4|S|”可知:man_y(S, P)成立。证毕。

事实2:广义三段论all(M,P)&man_y(S,M)

例如:(2)大前提:所有的山西人都习惯把多年

积攒的钱财留给儿女。

, )是有效的。

⇒

most⁽SP

证明:根据事实1可知:all(M,P)&man_y(S,

(, ),再根据事实的( )可知:

小前提:在成都打工的人中没有人习惯把多年

积攒的钱财留给儿女。

M⁾⇒manySP

0 11 many

(

S^,P⁾⇒mostSP allM P &many⁽S^,

(, ),因此, ( , )

结论:在成都打工的人中很多人都不是山西人。

这一广义三段论实例例证了事实₇是有效的。

事实8:广义三段论no(P,M)&all(S,M)⇒

_m_a_n_y₍_S_,_P)是有效的。

M⁾⇒mostSP

事实3:广义三段论all(M,P)&man_y(S,M)

, )是有效的。

(, )。事实₂得证。

⇒

some⁽SP

根据事实1和事实0的(7)可以直接证得事实

事实8的证明与事实7的证明类似。

3^。

^事^实⁹^:^广^义^三^段^论all⁽P^,M⁾&many⁽S^,

事实4:广义三段论all(M,P)&almostall(S, M)⇒man_y(S, P)是有效的。

M⁾⇒manySP

(, )是有效的。

^证^明^:^假^设all⁽P^,M⁾&many⁽S^,M⁾^这^两^个

证明:假设all(M,P)&almostall(S,M)这两

个前提都成立,那么根据定义1对all和almostall

前提都成立,那么根据all和man_y的真值定义可

知:all(P,M)⇔P⊆M,man_y(S, M)⇔|S∩M|<

的真值定义可知:all(M,P)⇔M⊆P,almostall(S, 0.4|S|。即:P⊆M且|S∩M|<0.4|S|,因此,|S∩

M⁾⇔|S∩M|≥0.9|S|^。^即^:M⊆P^且|S∩M|≥0.9 P|<0.4|S|^成^立^。^再^根^据^定^义1^的⁽8⁾^“many⁽S^,

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四川师范大学学报(社会科学版)

P⁾⇔|S∩P|<0.4|S|^”^可^知^:many⁽S^,P⁾^成^立^。

^在^前^提^中^要^么^包^含all^这^样^的^全^称^肯^定^命^题⁽^事^实1

证毕。

ꢀ4、事实7ꢀ10、事实14这9个事实就是如此),要

么包含no这样的全称否定命题(事实5ꢀ8、事实10

ꢀ13、事实14这9个事实就是如此),要么二者兼之

(事实7、事实8和事实14这3个事实就是如此)。

这一规律与传统三段论的规律是吻合的,即:当肯定

或否定一类对象的全部时,也就肯定或否定了这类

对象中的部分。这一规律对于其他广义量词(比如

例如:(3)大前提:所有在市中心买写字楼的人

都是本地人。

小前提:很多做药材生意的人都不是本地人。

结论:很多做药材生意的人都没有在市中心买

写字楼。

这一广义三段论实例例证了事实9是有效的。

事实10:广义三段论all(P,M)&man_y(S, most、few、atlesthalfofthe、almostall等)是否也

_M₎_⇒_m_o_s_t₍_S_,_P)是有效的。

成立呢? 虽然我们还不能够对此断然下结论,但是

这一规律将为我们寻找关于其他广义量词的有效的

广义三段论,还是有很大的启迪作用的。

根据事实9和事实0的(12)可以证明事实10。

事实11:广义三段论no(P,M)&man_y(S,

_M₎_⇒_m_a_n_y₍_S_,_P)是有效的。

事实上,利用本文的研究方法,还可以研究由两

个及其以上的广义三段论嵌套而成的语篇推理的有

效性。例如:“所有的苹果都卖完了,很多上周进的

水果都是苹果,所以很多上周进的水果都卖完了。

上周进的所有水果都是从城北批发市场进的,所以

很多上周从城北批发市场进的水果都卖完了。”这一

语篇推理其实是有两个广义三段论组成,而且第一

个三段论的结论是第二个三段论的大前提。

事实11的证明与事实5的类似。

事实12:广义三段论no(P,M)&man_y(S,

_M₎_⇒_m_o_s_t₍_S_,_P)是有效的。

根据事实11和事实0的(12)可以直接证得事

实12。

事实13:广义三段论no(P,M)&almostall

(_S_,_M₎_⇒_m_a_n_y₍_S_,_P)是有效的。

事实13的证明与事实5的类似。

总之,本文充分利用了包含<1,1>类型广义量词

的语句可表示成Q(S,P)这样的三分结构,以及这

类量词的真值定义和简单的集合论知识,对广义三

段论进行了简洁明了的形式化表示和证明。自然语

言中<1,1>类型广义量词非常多,而利用本文的研究

方法,就可以对其他广义量词的广义三段论进行形

式化,以及对它们有效性进行证明。因此,本文的研

究方法具有很大的普适性和广泛的应用价值,尤其

是对自然语言信息处理和计算机科学中的知识表示

和知识推理而言更是如此,而且这些研究也将推动

广义量词理论向纵深方向发展。

事实14:广义三段论all(P,M)&no(M,S)

_⇒_m_a_n_y₍_S_,_P)是有效的。

证明:假设all(P,M)&no(M,S)这两个前提

都成立,那么根据all和no的真值定义可知:all(P,

M⁾⇔P⊆M^,no⁽M^,S⁾⇔M∩S=Ø^。^即^:P⊆M^且

M∩S=Ø^,^因^此^,∩P=Ø^,|S∩P|=0<0.4|S|^。^再

根据定义1的(10)“man_y(S, P)⇔|S∩P|<0.4|

_S_|_”_可_知_:_m_a_n_y₍_S_,_P)成立。证毕。

四

结论

通过仔细观察上述14个关于man_y的有效的

广义三段论推理模式,就会发现:这些有效的三段论

参考文献:

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[

GeneralizedSyllogisticReasoning

“

IncludingtheGeneralizedQuantifier many^”

a,b

LISheng ^,YUANZhao-long

a.InstituteofLo_gicandInformation,b.Colle_geofPoliticalEducation,

(

SichuanNormalUniversity,Chengdu,Sichuan610066,China)

Abstract^:Syllogisticargumentsareprominentinnaturallanguageinformationprocessingand

knowledgereasoning^,andtheyhaveplayedimportantroleinlogicsinceAristotle.Thegeneral-

izedquantifier^“many^”isappliedinthispapertoexpandthetraditionalreasoningofgeneralized

syllogisms^,andthevalidityof14generalizedsyllogismsissyntacticallyprovedbymeansofgen-

eralizedquantifiertheoryandsettheory.Thismethodprovidesasimpleandreasonablemathe-

maticalmodelofgeneralizedsyllogismsforothergeneralizedquantifiers.

Keywords^:classicalsyllogisms^;generalizedsyllogisms^;generalizedquantifiers^;reasoning

[责任编辑:帅巍]

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