第４２ 卷第１ 期
２０１５ 年１ 月
四川师范大学学报（社会科学版）
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｉｃｈｕａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ （Ｓｏｃｉａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏｌ．４２，Ｎｏ．１
Ｊａｎｕａｒｙ，２０１５
广义量词的现代对当方阵研究
林ꢀ 胜ꢀ 强
（
四川师范大学政治教育学院，成都６１００６６）
ꢀ
ꢀ 摘要：在现代对当方阵中，逻辑规律具有一致性。 对一个现代对当方阵中的任意一个广义量词施加任意多次
的三种形式的否定运算，得到的广义量词仍然是原来的现代对当方阵中的广义量词。 在〈１， １〉类型的广义量词所
对应的现代对当方阵中，不但广义量词与其三个否定量词的单调性之间具有可转换关系；而且它们所对应的广义
三段论之间具有可化归关系。 由于〈１，１〉类型广义量词在自然语言中普遍存在，所以，此研究对计算机科学中的知
识表示和知识推理具有重要的意义。
关键词：广义量词；对当方阵；单调性；广义三段论
中图分类号：Ｂ８１９ꢀ 文献标志码：Ａꢀ 文章编号：１０００⁃５３１５（２０１５）０１⁃００１５⁃０６
［
９］
ꢀ
ꢀ ２０ 世纪中期，人们发现：（１）自然语言中存在很
间的关系来解释广义量词的普遍语义特征。 广
义量词理论处理问题的方式直观简洁，其成果普适
性很强，便于对自然语言的信息处理，其研究成果对
于逻辑学、理论语言学、计算语言学、计算机科学等
交叉领域都有着重要的意义。 在本文中：用Ａ、Ｂ 、Ｃ
表示广义量词所涉及的论元所组成的集合，用Ｅ、Ｆ
表示所讨论的论域；广义量词用其对应的英语来表
示；若无特别说明，量词都是指广义量词。
多不能够用一阶逻辑中的标准量词∀和∃来加以定
义的， 但却具有非常有趣的数学推理性质的量
［
１］
；（２）自然语言中还存在亚里斯多德三段论以
词
［
２］
外的大量有效推理，这些推理就是基于广义量词
的扩展三段论的推理。 这孕育了广义量词理论
（
ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｑｕａｎｔｉｆｉｅｒ ｔｈｅｏｒｙ） 的诞生。 广义量词包
括：（１）一阶逻辑的全称量词和存在量词；（２）限定
词；（３）由限定词ａ，ａｎ，ｔｈｅ 或其他量化关系所组成
的所有名词短语。 在这里，限定词是指能够修饰名
词的语词，比如：这个、那个、红色的、至少三分之二
的，四个，等等。 ２０ 世纪８０ 年代以来，在Ｂａｒｗｉｓｅ 和
需要特别说明的是，广义量词理论和本文中研
究的“量词”都是指“广义量词”，它们与汉语语言学
中的“量词”是完全不同的两个概念。 按张晓君的
观点：大致说来，汉语语言学家认为的“表示事物或
动作单位”的“量词”与数词、指代词组成的量词短
语，就相当于英语语言中指称名词短语中的量化词
项的“限定词”；对汉语语言中的量词短语或名词短
语进行语义解释后就得到了集合论中的广义量词，
汉语中的“专有名词”，如张三、李四也是广义量词。
自然语言中的限定性词语和已经名词化的词语也是
广义量词，自然语言中的一些副词性词语，比如：
［
３］
［４］
［５］
Ｃｏｏｐｅｒ 、 Ｋｅｅｎａｎ 、 Ｖａｎ Ｅｉｊｃｋ 、 Ｐｅｔｅｒｓ
和
［
６］
［７］
［８］
Ｗｅｓｔｅｒｓｔåｈｌ 、Ｓｚｙｍａｎｉｋ 、Ｃｈｏｗ Ｋａ Ｆａｔ 等人工作
的基础上，广义量词理论得到了大力发展。 广义量
词理论的表达力就于一阶逻辑的表达力。
广义量词理论以集合论为基础，通过模型论对
广义量词进行形式化的解释，其基本思想就是：根据
广义量词的论元所涉及的集合的性质，或者集合之
收稿日期：２０１４⁃０８⁃１２
基金项目：国家社科基金重大项目“应用逻辑与逻辑应用研究”（１４ＺＤＢ０１４）。
作者简介：林胜强（１９６３—），男，四川隆昌人，四川师范大学政治教育学院副教授，主要从事语言逻辑和哲学逻辑的研究。
１５
四川师范大学学报（社会科学版）
［
１０］
［１１］４７－５２
定义１ ：令Ｑ 是一个〈１， １〉类型量词，对
“
常常、经常、很少、有时、从不”也是广义量词
一ꢀ 问题的提出
。
任意集合Ａ、Ｂ、Ｃ 和论域Ｅ、Ｆ 而言：
在自然语言中，最为普遍存在的是〈１〉 类型量
ꢀ ꢀ （１）Ｑ 是右单调递增的（记作Ｍｏｎ↑），当
且仅当：若Ｂ⊆Ｃ⊆Ｅ，则ＱＥ （Ａ， Ｂ） ⇒ＱＥ （Ａ，
Ｃ）；
词和〈１， １〉类型量词。 〈１〉类型量词表示其论元所
组成集合的性质，常见名词短语对应〈１〉类型量词。
〈
１， １〉类型量词表示广义量词左论元和右论元所涉
及的集合之间的二元关系，绝大多数限定词对应
１， １〉类型量词。 对〈１〉类型量词的研究常常可以
（２）Ｑ 是右单调递减的（记作Ｍｏｎ↓），当
且仅当：若Ｂ⊆Ｃ⊆Ｅ，则ＱＥ （Ａ， Ｃ） ⇒ＱＥ （Ａ，
Ｂ）；
〈
转化为对其〈１， １〉类型的亲缘量词的研究，因而本
文重点研究〈１， １〉类型量词。 比如“最多五分之一
的少年有网瘾”这一语句中的名词短语“最多五分
之一的少年”就是〈１〉类型量词，该量词表示“最多
五分之一的少年” 组成的集合具有“有网瘾” 的性
质。 而这一语句中的限定词“最多五分之一的”就
是〈１， １〉类型量词，“最多五分之一的”就是“最多
五分之一的少年”的亲缘量词。 在自然语言中，任
何含有〈１， １〉类型量词Ｑ 的量化语句都可以表示
为Ｑ（Ａ， Ｂ）这样的三分结构，其中Ａ 表示量词左论
元所组成的集合，Ｂ 表示量词的右论元所组成的集
合。 比如“最多五分之一的少年有网瘾”可用Ｑ（Ａ，
Ｂ）表示，其中“最多五分之一的”对应的是〈１， １〉类
型量词Ｑ，Ａ 表示论域中所有的少年组成的集合，Ｂ
表示有网瘾的少年组成的集合。 在广义量词理论
中，“最多五分之一的”的真值定义是：（ａｔ ｍｏｓｔ １／ ５
ｏｆ ｔｈｅ）Ｅ（Ａ， Ｂ）⇔｜Ａ∩Ｂ ｜ ≤１／ ５ ｜ Ａ｜，这里的Ｅ 表示
论域，即“最多五分之一的”的语义就是通过“Ａ 与
Ｂ 交集的基数小于或等于Ａ 的基数的五分之一”来
刻画的。 类似地，语句“所有的人都渴望得到幸福”
可以表示为ａｌｌ（Ａ， Ｂ），量词“所有的”的真值定义
是ａｌｌ（Ａ， Ｂ）⇔Ａ⊆Ｂ。
（３）Ｑ 是左单调递增的（记作↑Ｍｏｎ），当且
仅当：若Ｂ⊆Ｃ⊆Ｅ，则ＱＥ（Ｂ， Ａ）⇒ＱＥ（Ｃ， Ａ）；
（４）Ｑ 是左单调递减的（记作↓Ｍｏｎ），当且
仅当：若Ｂ⊆Ｃ⊆Ｅ，则ＱＥ（Ｃ， Ａ）⇒ＱＥ（Ｂ， Ａ）。
（５）ＱＥ 是东南方向单调递增的（记作↑
ＳＥＭｏｎ），当且仅当：若ＱＥ（Ｂ， Ａ） 且Ｂ⊆Ｃ⊆Ｅ
且Ｂ－Ａ＝Ｃ－Ａ，则ＱＥ（Ｃ， Ａ）；
（６）ＱＥ 是西南方向单调递增的（记作↑ＳＷ
Ｍｏｎ），当且仅当：若ＱＥ（Ｂ， Ａ）且Ｂ⊆Ｃ⊆Ｅ 且Ｂ
∩Ａ＝Ｃ∩Ａ，则ＱＥ（Ｃ， Ａ）；
（７） ＱＥ 是西北方向单调递减的（记作↓ＮＷ
Ｍｏｎ），当且仅当：若ＱＥ（Ｃ， Ａ）且Ｂ⊆Ｃ⊆Ｅ 且Ｂ
－Ａ＝Ｃ－Ａ，则ＱＥ（Ｂ， Ａ）；
（８） ＱＥ 是东北方向单调递减的（记作↓ＮＥ
Ｍｏｎ），当且仅当：若ＱＥ（Ｃ， Ａ）且Ｂ⊆Ｃ⊆Ｅ 且Ｂ
∩Ａ＝Ｃ∩Ａ，则ＱＥ（Ｂ， Ａ）。
二ꢀ 古典对当方阵与现代对当方阵之异同
早在２３００ 多年前，亚里斯多德就对ａｌｌ、ｓｏｍｅ、
ｎｏ、ｎｏｔ ａｌｌ 这四个亚氏量词有所研究。 亚氏三段论
可以看作是这四个〈１， １〉类型量词的推理性质的形
式化解释。 一个三段论具有这样的形式：
ꢀ ꢀ 大前提：Ｑ１（Ｂ， Ｃ）
如果一个量词在某个论域上的任意关系是全关
系（ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｒｅｌａｔｉｏｎ），这种量词叫作全量词，我们用
粗体１ 来表示。 如果一个量词在某个论域上的任意
关系是空关系（ｅｍｐｔｙ ｒｅｌａｔｉｏｎ）时，这种量词叫做空
量词，我们用粗体０ 来表示。 这两种量词是非足道
小前提：Ｑ２（Ａ， Ｂ）
结ꢀ 论：Ｑ３（Ａ， Ｃ）
在亚里斯多德工作的基础上，大家认为：一个有
效的三段论可以有假前提，如若前提真而结论假，那
么该三段论就是无效的，否则，就是有效的三段论。
后来，一些学者使用对角线的形式把这些亚氏量词
表示在古典对当方阵中（见下页图１）。
１９ 世纪末以来，一些学者发现古典对当方阵所
（
ｔｒｉｖｉａｌ）量词，其他量词则是足道（ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ）量词。
广义量词的主要性质有：同构闭包性、扩展性、驻留
性、单调性、对称性、相交性等等。 单调性则是广义
量词最重要的语义性质。 由于〈１， １〉类型量词有两
个论元，故其单调性有左右之分。 下面定义１ 中前
四种单调性是广义量词的基本单调性，后四种单调
性叫做斜向单调性。
［
１２］
描述的逻辑规律有冲突的地方。 例如，ｎｏ（Ａ，
Ｂ）不能蕴涵现代对当方阵（见下页图２）中的ｎｏｔ ａｌｌ
（Ａ， Ｂ），这是因为在现代对当方阵中，ａｌｌ 没有假定
主项一定存在，而ｎｏｔ ａｌｌ 则假定了主项一定存在。
１６
林胜强ꢀ 广义量词的现代对当方阵研究
ｄ
但是ｎｏ（Ａ， Ｂ） 确实蕴涵古典意义的ｎｏｔ ａｌｌｅｉ （Ａ，
否定量词、Ｑ 表示其对偶否定量词，则其三种否定
［
６］９２－９３
Ｂ），这是因为在古典对当方阵中，ａｌｌｅｉ 假定了主项一
定存在，而ｎｏｔ ａｌｌｅｉ 没有假定主项一定存在。 这一假
量词的定义
是：
定义２：〈１， １〉类型量词的三种否定运算：
［
６］２２－２６
定与现代对当方阵正好相反
。 此外，古典对
ꢀ ꢀ （１）（¬Ｑ）
Ｅ
Ｅ
（Ａ， Ｂ）⇔并非Ｑ （Ａ， Ｂ）；
Ｅ
（Ａ， Ｂ）⇔Ｑ （Ａ， Ｅ－Ｂ ）；
当方阵对指称空集的表达式的空词项的处理不够充
（２）（Ｑ¬）
ｄ
（３）（Ｑ ）Ｅ（Ａ， Ｂ） ⇔¬（（Ｑ¬）Ｅ（Ａ， Ｂ））⇔
Ｅ
［
１３］２２０－２２４
分
。 然而，古典对当方阵对于像ａｌｌ、ｅｖｅｒｙ 这
些词的解释，还是很大程度上达到了逻辑学和语言
学的目的。 从１９ 世纪末以来，现代对当方阵规定量
词ａｌｌ 不假定主项一定存在，而ｎｏｔ ａｌｌ 则假定主项一
定存在。 基于以上这些原因，为了与现代对当方阵
中的ａｌｌ 与ｎｏｔ ａｌｌ 区分开来，我们在古典对当方阵中
的ａｌｌ 与ｎｏｔ ａｌｌ 都加上了下标ｅｉ。 与古典对当方阵
相比较，现代对当方阵的主要优点是：一是没有逻辑
规律上的冲突，二是能够揭示出自然语言和逻辑语
言中的三种重要的否定形式（即外否定、内否定、对
（（¬Ｑ）Ｅ¬） （Ａ，Ｂ）。
Ｑ 的对偶否定就是Ｑ 的内否定的外否定，或Ｑ
的对偶否定就是Ｑ 的外否定的内否定。
三ꢀ 广义量词的现代对当方阵研究
在之前论述的基础上，现在我们就可以给出广
［
６］１３３
义量词的现代对当方阵的定义
。
定义３：现代对当方阵：
ꢀ ꢀ 对一个对〈１， １〉类型或〈１〉类型的广义量
词Ｑ 而言，Ｑ 的对当方阵简记为ｓｑｕａｒｅ（Ｑ），而
［
１４］
ｄ
偶否定）之间的相互关系
。
且ｓｑｕａｒｅ（Ｑ） ＝ ｛Ｑ， ¬Ｑ， Ｑ¬， Ｑ ｝
例如，图２ 中的现代对当方阵可以记作ｓｑｕａｒｅ
ａｌｌ） ＝ ｛ａｌｌ， ｎｏｔ ａｌｌ， ｎｏ， ｓｏｍｅ｝。 每一个广义量词
（
都可以生成一个现代对当方阵。 例如：ｓｑｕａｒｅ（ ａｔ
ｍｏｓｔ ｎ） ＝ ｛ａｔ ｍｏｓｔ ｎ， ｍｏｒｅ ｔｈａｎ ｎ， ａｌｌ ｂｕｔ ａｔ ｍｏｓｔ ｎ，
ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ｎ｝，其中的ｎ 为自然数。 因为：ａｔ ｍｏｓｔ ｎ 是
〈
１， １〉类型量词，令Ｑ ＝ ａｔ ｍｏｓｔ ｎ，根据定义２（１），
得：（¬Ｑ）Ｅ（Ａ， Ｂ）⇔并非ＱＥ（Ａ， Ｂ）⇔并非（ａｔ ｍｏｓｔ
ｎ）（Ａ， Ｂ） ⇔ｍｏｒｅ ｔｈａｎ ｎ（Ａ， Ｂ），所以，¬Ｑ ＝ ｍｏｒｅ
ｔｈａｎ ｎ。 根据定义２（２），得：（Ｑ¬）Ｅ（Ａ， Ｂ）⇔ＱＥ（Ａ，
Ｅ－Ｂ ）⇔（ａｔ ｍｏｓｔ ｎ）（Ａ， Ｅ－Ｂ ）⇔（ａｌｌ ｂｕｔ ａｔ ｍｏｓｔ ｎ）
图１．古典对当方阵
（
（
Ａ， Ｂ），所以Ｑ¬ ＝ ａｌｌ ｂｕｔ ａｔ ｍｏｓｔ ｎ。 根据定义２
ｄ
３），得：（Ｑ ）Ｅ（Ａ， Ｂ）⇔¬（（Ｑ¬）Ｅ（Ａ， Ｂ））⇔¬（ａｌｌ
ｄ
ｂｕｔ ａｔ ｍｏｓｔ ｎ）（Ａ， Ｂ）⇔ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ｎ（Ａ， Ｂ），所以Ｑ
＝
ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ｎ。
在现代对当方阵中，对一个广义量词进行这三
种形式的否定运算，其结果是封闭的。 也就是说，对
一个现代对当方阵中的任意一个广义量词施加任意
多次的这三种形式的否定运算，得到的广义量词仍
［
６］２４－２６
然是原来的现代对当方阵中的广义量词
。 例
ｄ
如：在现代对当方阵ｓｑｕａｒｅ（ａｌｌ） 中，¬¬¬（ ｓｏｍｅ ）
ｄ
ｄ
图２．现代对当方阵
¬¬ ＝¬（ｓｏｍｅ ）¬¬ ＝¬（ｓｏｍｅ ）＝ ¬ａｌｌ＝ｎｏｔ ａｌｌ。
在现代对当方阵中，对角线两端的量词互为外
否定（ｏｕｔｅｒ ｎｅｇａｔｉｏｎ）量词，水平线两端的量词互为
内否定（ｉｎｎｅｒ ｎｅｇａｔｉｏｎ）量词，铅垂直线两端的量词
则互为对偶（ｄｕａｌ）否定量词。 对〈１， １〉类型广义量
词Ｑ 而言，令¬Ｑ 表示其外否定量词、Ｑ¬ 表示其内
后来的学者研究表明，这三种形式的否定在自
然语言中都是大量存在的，而且任意一个广义量词
都可以产生一个现代对当方阵。 这一点对古典对当
方阵而言是不成立的，因为只有现代对当方阵中的
量词的外否定在古典对当方阵中，而量词的其他两
１７
四川师范大学学报（社会科学版）
种形式的否定形式都不在古典对当方阵中。 如果没
（４）由于任意广义量词与它的外否定量词是不
同的，因而在对当方阵中最少存在两个量词。 现在
只需要考虑（ａ）与（ｂ）两种情况：（ａ）当¬Ｑ≠Ｑ¬时，
有特殊说明，以下的对当方阵都是指现代对当方阵。
对现代对当方阵而言，有如下事实成立：
［
６］１３３－１３４
ｄ
ｄ
ｄ
事实１
ꢀ （１）空量词０ 与全量词１ 所对应的对当方
阵相同，即ｓｑｕａｒｅ（０）＝ ｓｑｕａｒｅ（１） ＝ ｛０， １｝；
２）如果Ｑ 既不是空量词，也不是全量词，
：
Ｑ ＝¬Ｑ¬，即Ｑ 是Ｑ¬ 的外否定，那么Ｑ ≠Ｑ¬，即
ｄ
ꢀ
此时Ｑ≠¬Ｑ≠Ｑ¬ ≠Ｑ ，这时对当方阵中就有四个
ｄ
成员。 （ｂ）当¬Ｑ ＝ Ｑ¬ 时，Ｑ ＝ ¬Ｑ¬ ＝ Ｑ¬¬ ＝ Ｑ，这时
（
对当方阵就只有两个成员。 根据（１）的证明可知，
这种情况是存在的。 因此，对当方阵中要么有两个
成员，要么有四个成员。 结论得证。
那么在Ｑ 的对当方阵中的其他三个否定量词
也既不是空量词，也不是全量词；
（
３）一个对当方阵中的每一个量词生成的
对当方阵都是一样的。 即：如果Ｑ′∈ ｓｑｕａｒｅ
Ｑ），那么ｓｑｕａｒｅ（Ｑ）＝ ｓｑｕａｒｅ（Ｑ′）。
４）任何一个对当方阵ｓｑｕａｒｅ（Ｑ），要么有
四ꢀ 同一个对当方阵中的广义量词之间的关系
在文献［６］［８］和［１３－１５］的基础上，张晓君发
现：在同一个对当方阵中，不同广义量词的单调性之
间有着密切的关系。 例如：对〈１， １〉类型的广义量
词而言，在同一个对当方阵中，不同广义量词的单调
性之间具有可转换关系，即：互为外否定的两个量词
的左右单调性完全相反；互为内否定的两个量词的
左单调性相同，右单调性相反；互为对偶否定的两个
量词的左单调性相反，右单调性相同。 这一可转换
关系可概括成“外否左右反，内否左同右反，对偶左
（
（
两个成员，要么有四个成员。
文献［６］仅仅给出了事实１ 的（２）（３）（４）的简
略证明。 在此，我们可以给出以下完整的证明。
（
１）当Ｑ 是空量词时，即有Ｑ ＝ ０，那么¬Ｑ ＝¬０
ｄ
＝
１，Ｑ¬ ＝０¬ ＝１－０＝１，这时¬Ｑ＝Ｑ¬ ＝１；而Ｑ ＝¬（Ｑ
ｄ
¬
）＝ ¬１ ＝ ０，这时Ｑ ＝ Ｑ ＝ ０，所以ｓｑｕａｒｅ（０） ＝ ｛０，
［
１５］６７３－６７８
１
｝。 类似地，当Ｑ 是全量词时，即有Ｑ ＝ １，则¬Ｑ ＝
反右同”
。 例如，四个〈１， １〉类型的亚氏量
ｄ
¬
¬
｛
１＝０，Ｑ¬ ＝１¬ ＝ １－１ ＝ ０，这时¬Ｑ ＝Ｑ¬ ＝ ０，而Ｑ ＝
词就存在这样的转换关系，请参见图３、图４。
ｄ
（Ｑ¬）＝ ¬０＝１，这时Ｑ ＝Ｑ ＝ １，所以ｓｑｕａｒｅ（１） ＝
０， １｝。 故，ｓｑｕａｒｅ（０）＝ ｓｑｕａｒｅ（１）＝ ｛０， １｝，即空量
词０ 与全量词１ 所对应的对当方阵相同。
２）假设Ｑ 既不是空量词，也不是全量词，那么
（
就存在论域Ｅ，Ａ、Ｂ⊆Ｅ，使得ＱＥ（Ａ，Ｂ），而且存在
Ｅ′，Ａ′、Ｂ′⊆Ｅ′使得，并非ＱＥ′（Ａ′，Ｂ′）；这对于对当方
阵中的其它量词也是一样的。 例如，令Ｂ１ ＝ Ｅ－Ｂ，
且Ｂ２ ＝ Ｅ′－Ｂ′，则ＱＥ（Ａ，Ｅ－Ｂ１ ），并非ＱＥ′（Ａ′，Ｅ′－
Ｂ２），即（Ｑ¬）Ｅ（Ａ，Ｂ１ ），并非（Ｑ¬）Ｅ′（Ａ′，Ｂ２ ），因此
Ｑ¬也既不是空量词，也不是全量词。
图３．“ａｌｌ”的现代对当方阵中
量词的单调性及其相互关系
（
３）这里需要考虑（ａ）与（ｂ）两种情况。 （ａ）如
果Ｑ 是非足道量词０ 或１，那么事实１（１）已经证明
ｓｑｕａｒｅ（０）＝ ｓｑｕａｒｅ（１），故结论成立。 （ｂ）如果Ｑ 是
足道量词。 例如， 我们可以证明ｓｑｕａｒｅ （ Ｑ ¬） ＝
ｄ
ｄ
ｓｑｕａｒｅ（Ｑ ）。 根据定义２ 有：¬（Ｑ¬）＝ Ｑ ，（Ｑ¬）¬ ＝
ｄ
Ｑ，（Ｑ¬） ＝¬（Ｑ¬）¬ ＝¬Ｑ，所以ｓｑｕａｒｅ（Ｑ¬）＝ ｛Ｑ¬，
ｄ
ｄ
Ｑ ， Ｑ， ¬Ｑ｝；再根据定义２ 有：¬（Ｑ ）＝ ¬（¬Ｑ¬）¬
图４．“ｍｏｓｔ”的现代对当方阵中
ｄ
ｄ
ｄ
＝
Ｑ¬，（Ｑ ）¬ ＝ （¬Ｑ¬）¬ ＝ ¬Ｑ，（Ｑ ） ＝ ¬（¬Ｑ¬）¬ ＝
量词的单调性及其相互关系
ｄ
ｄ
Ｑ，ｓｑｕａｒｅ（Ｑ ）＝ ｛ Ｑ ， Ｑ¬， ¬Ｑ， Ｑ｝，可见ｓｑｕａｒｅ（Ｑ
ｄ
ｄ
在图３ 中，↓ａｌｌ↑表示ａｌｌ 是右单调递增且左单
调递减的量词，其外否定量词ｎｏｔ ａｌｌ 的左右单调性
¬
）＝ ｓｑｕａｒｅ（Ｑ ） ｛Ｑ¬， Ｑ ， Ｑ， ¬Ｑ｝ ＝ ｓｑｕａｒｅ（Ｑ）。
其他情况证明与此类似。
１８
林胜强ꢀ 广义量词的现代对当方阵研究
正好与它相反，是右单调递减且左单调递增的，即：
ｎｏｔ ａｌｌ↓，其他与此类似。 图４ 中的〈１， １〉类型量
证明了ａｌｌ（Ｂ， Ｃ） ＆Ｑ¬（Ａ， Ｃ）⇒Ｑ¬（Ａ， Ｂ）。 （ｄ）
↑
此时，继续假设语句ａｌｌ（Ｂ， Ｃ）成立，对Ｑ¬（Ａ， Ｃ）
⇒Ｑ¬（Ａ， Ｂ） 的两边取否定运算，可得：¬Ｑ¬（Ａ，
词“ｍｏｓｔ”的基本单调性也满足这样的转换关系；而
其斜向单调性之间也具有一定的转换关系，具体地
说：互为外否定的量词的东与西、南与北、递增与递
减正好相反；互为内否定的量词同增同减，只是东与
西正好相反；互为对偶否定的量词也同增同减，只是
南与北正好相反。
ｄ
Ｂ）⇒¬Ｑ¬（Ａ， Ｃ），再根据Ｑ ＝¬Ｑ¬这一定义可知，
ｄ
ｄ
Ｑ （Ａ， Ｂ）⇒Ｑ （Ａ， Ｃ），此时就证明了ａｌｌ（Ｂ， Ｃ） ＆
ｄ
ｄ
Ｑ （Ａ， Ｂ）⇒Ｑ （Ａ， Ｃ）。 反方向的证明与此类似。
证毕。
例如，由于ｍｏｒｅ ｔｈａｎ ２／ ３ ｏｆ 是右单调递增的量
词，若令Ｑ＝ｍｏｒｅ ｔｈａｎ ２／ ３ ｏｆ，则¬Ｑ＝ａｔ ｍｏｓｔ ２／ ３ ｏｆ，
正如广义量词是亚氏量词的扩展一样，广义三
ｄ
段论是亚氏三段论的扩展，广义三段论是指涉及广
Ｑ¬ ＝ｌｅｓｓ ｔｈａｎ １／ ３ ｏｆ，Ｑ ＝ａｔ ｌｅａｓｔ １／ ３ ｏｆ，根据事实２
［
１６］
义量词的三段论，也叫扩展三段论。 经过深入研
究，我们发现：正是由于在同一个对当方阵中，不同
广义量词的单调性之间具有可转换关系，决定了在
同一个对当方阵中，不同广义量词所对应的有效广
义三段论之间具有可化归关系。 我们还是以自然语
言中占绝大多数的〈１， １〉类型的广义量词为例。 在
此，笔者提出事实２，并给出其详细证明。
可得：
推论１：ｍｏｒｅ ｔｈａｎ ２／ ３ ｏｆ 是右单调递增的，当且
仅当ａｌｌ（Ｂ， Ｃ） ＆ ｍｏｒｅ ｔｈａｎ ２／ ３ ｏｆ（Ａ， Ｂ） ⇒ｍｏｒｅ
ｔｈａｎ ２／ ３ ｏｆ（Ａ， Ｃ），当且仅当ａｌｌ（Ｂ， Ｃ） ＆ ａｔ ｍｏｓｔ
２／ ３ ｏｆ （Ａ， Ｃ）⇒ａｔ ｍｏｓｔ ２／ ３ ｏｆ （Ａ， Ｂ），当且仅当ａｌｌ
（Ｂ， Ｃ） ＆ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ １／ ３ ｏｆ（Ａ， Ｃ）⇒ｌｅｓｓ ｔｈａｎ １／ ３ ｏｆ
（Ａ， Ｂ），当且仅当ａｌｌ（Ｂ， Ｃ） ＆ ａｔ ｌｅａｓｔ １／ ３ ｏｆ （Ａ，
Ｂ）⇒ａｔ ｌｅａｓｔ １／ ３ ｏｆ （Ａ， Ｃ）。
事实２：对一个〈１， １〉类型的广义量词Ｑ 而言，
Ｑ 是右单调递增的，当且仅当ａｌｌ（Ｂ， Ｃ） ＆ Ｑ（Ａ，
Ｂ）⇒Ｑ（Ａ， Ｃ），当且仅当ａｌｌ（Ｂ， Ｃ） ＆ ¬Ｑ（Ａ， Ｃ）⇒
也就是说，这四个广义三段论都是有效推理，而
且它们之间具有可化归关系。 对此，我们举一个自
然语言的例子来加以说明。 例如，广义三段论实例
［１］有效，当且仅当广义三段论实例［２］有效，当且
仅当广义三段论实例［３］有效，当且仅当广义三段
论实例［４］有效：
¬
¬
（
Ｑ（Ａ， Ｂ），当且仅当ａｌｌ（Ｂ， Ｃ） ＆ Ｑ¬（Ａ， Ｃ）⇒Ｑ
ｄ
ｄ
（Ａ， Ｂ），当且仅当ａｌｌ（Ｂ， Ｃ） ＆ Ｑ （Ａ， Ｂ） ⇒Ｑ
Ａ， Ｃ）。
证明：先从左到右证明。 此证明分（ａ）（ｂ）（ｃ）
ｄ）四个步骤。 （ａ） 对一个〈１， １〉 类型量词Ｑ 而
（
ꢀ ꢀ ［１］前提１：所有渴望得到爱情的人都是心智健
全的人。
言，假设Ｑ 是右单调递增的，根据定义１（１）右单调
递增的定义可知，对于任意的论域Ｅ 和集合Ｂ 与Ｃ，
如果Ｂ⊆Ｃ⊆Ｅ，那么ＱＥ（Ａ， Ｂ）⇒ＱＥ（Ａ， Ｃ）。 再根
据广义量词理论给出的ａｌｌ 的真值定义可知，对于任
意的论域Ｅ，ａｌｌＥ（Ｂ， Ｃ）⇔Ｂ⊆Ｃ⊆Ｅ。 故，此时有：ａｌｌ
前提２：超过三分之二的人都渴望得到爱
情。
结ꢀ 论：超过三分之二的人都是心智健全
的人。
（
Ｂ， Ｃ） ＆ Ｑ（Ａ， Ｂ）⇒Ｑ（Ａ， Ｃ）。 （ｂ）此时，继续假
［２］前提１：所有渴望得到爱情的人都是心智健
全的人。
设语句ａｌｌ（Ｂ， Ｃ）成立，对Ｑ（Ａ， Ｂ）⇒Ｑ（Ａ， Ｃ）的两
边取否定运算，可得：¬Ｑ（Ａ， Ｃ）⇒¬Ｑ（Ａ， Ｂ），此时
就证明了ａｌｌ（Ｂ， Ｃ） ＆ ¬Ｑ（Ａ， Ｃ） ⇒¬Ｑ（Ａ， Ｂ）。
前提２：最多三分之二的人是心智健全的
人。
（
ｃ） 又由于Ｑ 是右单调递增的，根据其定义可知，
结ꢀ 论：最多三分之二的人渴望得到爱情。
［３］前提１：所有渴望得到爱情的人都是心智健
全的人。
对所有的Ｂ⊆Ｃ⊆Ｅ，那么ＱＥ（Ａ， Ｂ）⇒ＱＥ（Ａ， Ｃ）。
根据定义２（２）内否定的定义可知，（Ｑ¬）Ｅ（Ａ， Ｃ）
⇔
ＱＥ（Ａ， Ｅ－Ｃ ），（Ｑ¬）Ｅ（Ａ， Ｂ）⇔ＱＥ（Ａ， Ｅ－Ｂ ）。
前提２：不到三分之一的人是心智健全的
人。
也就是说，内否定只对其右论元取补运算，对左论元
没有影响，这就相当于仅仅对右论元取外否定运算，
故由ＱＥ（Ａ， Ｂ）⇒ＱＥ（Ａ， Ｃ），可得ＱＥ（Ａ， Ｅ－Ｃ ）⇒
ＱＥ（Ａ， Ｅ－Ｂ ），即Ｑ¬（Ａ， Ｃ）⇒Ｑ¬（Ａ， Ｂ），此时就
结ꢀ 论：不到三分之一的人渴望得到爱情。
［４］前提１：所有渴望得到爱情的人都是心智健
全的人。
１９
四川师范大学学报（社会科学版）
前提２：最少三分之一的人渴望得到爱情。
对自然语言中占绝大多数的〈１， １〉类型的广义量词
而言，在同一个对当方阵中，不仅不同广义量词的单
调性之间具有可转换关系，而且不同广义量词所对
应的有效广义三段论之间具有可化归关系。 由于广
义量词理论进行自然语言信息处理的方式直观简
洁，其研究成果有利于计算机的知识表示和知识推
理，因此我们有必要加强研究。
结ꢀ 论：最少三分之一的人是心智健全的
人。
综上所述，广义量词的现代对当方阵具有逻辑
一致性。 对一个现代对当方阵中的任意一个广义量
词施加任意多次的三种形式的否定运算，得到的广
义量词仍然是原来的现代对当方阵中的广义量词。
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责任编辑：张ꢀ 卉］
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（已满）